¿Relación de valor propio mayor a la suma de valores propios, donde leer al respecto?

Question

Deje $E_j$ $j$th de mayor magnitud autovalor de una real simétrica $N \times N$ matriz $M$. He encontrado que la proporción de

$$\frac{|E_1|}{\sum_{j=1}^N{|E_j|}},$$

es una medida de la "rango-uno-ness" de $M$. Cualitativamente, la más similar a las columnas de a$M$, la más alta sea la relación. En mi investigación de posgrado, esta medida aparece de forma natural para una clase específica de matrices.

Estoy seguro de que ha habido antes de la investigación sobre las propiedades y utilidad de esta medida para decidir qué tan bien alineados y similar a las columnas de una matriz. Por ejemplo, he visto que se usa como una medida de "compresibilidad". Aún así, mis búsquedas no han subido mucho.

¿Dónde puedo encontrar más información?

Answer 1

Debido a $M$ es una matriz de correlación, sabemos que los elementos de la diagonal $m_{ii} = 1 \ \forall i$. La computación de los autovalores y autovectores de a $M$ es equivalente a realizar el análisis de componentes principales en ajustaron los datos (cada columna de la variable de tener la unidad de la varianza).

La cantidad $$\delta_j=\frac{|\lambda_j|}{\sum_{i=1}^{N} |\lambda_i|}$$ represents the proportion variation the $j$ésimo vector propio se explica en el conjunto de datos. Los estadísticos a menudo fin de que los valores propios de la correlación (o covarianza) de la matriz por la disminución de la magnitud, y la trama el nivel de la acumulación de la variación explicada por cada autovector comenzando con el más grande (respectivos) autovalor, y la adición de la siguiente más grande hasta que todos estén agotados. Esto se llama un diagrama de sedimentación, y una rápida en google y consulta proporcionará muchos ejemplos.

La utilidad de trazado acumulado sumas de $\delta_j$ es que uno puede visualizar el marginal poder explicativo del ganado, incluyendo un adicional de los componentes principales de un conjunto de factores lineales modelado $M$.

Sabemos si $\delta_j \approx 1$, entonces todas las columnas de a $M$ son aproximadamente de la misma, y si $\delta_j \approx 0$, $j$ésima columna tiene poco parecido a los demás (en un sentido lineal).

La investigación de cómo los estadísticos elegir componentes principales pueden ser útiles para sus propósitos, ya que hay mucho escrito sobre esto.

Del mismo modo, las operaciones de los investigadores y los matemáticos a menudo el estudio de la columna de selección de subconjuntos problema, lo que puede también tener pertinentes de la fruta.

Answer 2

Usted puede leer sobre él en cualquier capítulo en el análisis de componentes principales (PCA), específicamente de la PCA se realiza en una matriz de correlación $\mathbf{R}$. Como se señaló anteriormente, la suma de los autovalores $\sum_j \lambda_j$ es igual a $p$, el número de dimensiones de la matriz de datos. La relación de la mayor autovalor a la suma de los autovalores refleja el porcentaje de varianza de explicación de la mayor autovalor. Sin embargo, no es sólo la más grande que es de interés: a menudo, la relación de cada autovalor para la suma (i.e, $p$) se utiliza para reflejar el porcentaje de explicación de la varianza para cada una de las sucesivas autovalor.