¿Derivado de un sujetador?

Question

Entiendo que

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \langle\psi|\psi\rangle =\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \langle\psi|\right]|\psi\rangle + \langle\psi|\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}|\psi\rangle\right]$$

y que este puede ser establecido por una aplicación directa de la definición de la derivada; pero no está claro para mí por qué

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} |\psi\rangle \;=\; -i H |\psi\rangle\implies\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \langle\psi|\right]=i\langle\psi|H^\dagger$$

sólo con un lineal de vectores del espacio y las propiedades de un producto interior.

Debo ser capaz de derivar la conclusión anterior de sólo de las propiedades de un lineal del espacio vectorial con producto interior, o es más necesaria?

Answer 1

Desde el bra-vector es sólo el Hermitian conjugado de la cy-vector$\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}}$ $$\langle\psi| = |\psi\rangle^\daga$$ $$\ddt \langle\psi| = \ddt |\psi\rangle^\dagger =\left(\ddt |\psi\rangle\right)^\dagger= \Big(-i H |\psi\rangle\Big)^\dagger =-|\psi\rangle^\dagger H^\dagger i^\dagger = i\langle\psi|H^\dagger$$ Si asumimos $H$ es un operador lineal definido en el espacio adecuado.

Por ejemplo: Si $|\psi\rangle = (c_1,\ldots,c_n)^T$ es un vector columna con $n$ entradas complejas, a continuación, $\langle\psi| = (c_1^*,\ldots,c_n^*)$ es un vector fila cuyas entradas son el conjugado complejo de $c_i$, y, a continuación, $H$ $n\times n$ matriz compleja. Si $|\psi\rangle$ es una función en $H^1_0$, $\langle\psi|$ es un delimitada lineal funcional en $H^1_0$, e $H$ es un delimitada lineal como operador Laplaciano.

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EDIT: Como OP señalado, la razón por la que bra-vector es el Hermitian conjugado de la cy-vector de representación de Riesz teorema. En resumen: cualquier Hilbert y su espacio dual tiene una correspondencia 1-1, además, la correspondencia es agradable en el que se conserva la norma (isometría). Si $|\psi\rangle \in V$, entonces su dual es un almacén de función lineal en $V$, el espacio se denota como $V'$. Para cualquier $|\psi\rangle$, podemos asociar un único lineal funcional $l_{\psi}$, e $\langle\psi|\phi\rangle:= l_{\psi}(\phi)$, en otras palabras, $\langle\psi|$ es esto lineal funcional, sólo notación diferente.

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Una traducción de la física:

Si se utiliza el análisis funcional de la notación, la traducción de bra-ket de la notación, el problema debe ser:

Conoce $\displaystyle \ddt \psi = -i H\psi$, encontramos a $\displaystyle \ddt l_{\psi} =?$ donde $l_{\psi}$ se define como: $l_{\psi}(\phi) = \langle \psi,\phi\rangle$, e $\langle \cdot,\cdot\rangle$ es el producto interior en el espacio de Hilbert $V$ involucrados.

Para cualquier $\phi \in V$, por la definición inducida por Riesz: $$\ddt l_{\psi}(\phi) = \ddt\langle \psi\phi\rangle$$ Una posible opción para el interior del producto es la integración de la primera entrada del complejo conjugado de los tiempos de la segunda entrada con respecto a definir correctamente medida (no tiene que ser esta, pueden ser otros): $$\langle f,g\rangle = \int_X f\overline{g}$$ Entonces: $$\ddt\langle \psi\phi\rangle = \langle \ddt\psi\phi\rangle = \langle-i H\psi\phi\rangle$$ Si el Hermitian conjugado (adjunto) de la lineal operador $H$ se denota como $H^*$: $$\langle-i H\psi\phi\rangle = \langle \psi(iH^*)\phi\rangle = l_{\psi}(iH^*\phi)$$ Por lo tanto: $$\ddt l_{\psi}(\phi) = l_{\psi}(iH^*\phi) \quad \forall \phi\en V.$$ Este es el mismo como: $$\ddt\langle\psi| = i\langle\psi|H^\daga$$ solo mediante el análisis funcional de la notación y el otro con bra-ket de notación.