Resolución de un sencillo sistema de ecuaciones

Question

Dadas las ecuaciones simultáneas $$A\cos{(\sqrt{\lambda}\pi)} + B\sin{(\sqrt{\lambda}\pi)} = 0$$ $$A\cos{(2\sqrt{\lambda}\pi)}+B\sin{(2\sqrt{\lambda}\pi)} = 0$$ We want to show this has not trivial solutions (ie. solutions when $A\not=0$ and $B\not= 0$). In my notes I have that this gives non-trivial solutions when $% $ $\sin{(2\sqrt{\lambda}\pi)}\cos{(\sqrt{\lambda}\pi)} - \cos{(2\sqrt{\lambda}\pi)}\sin{(\sqrt{\lambda}\pi)} = 0$pero absolutamente no se puede ver por qué. Puede alguien explicarme, gracias.

Answer 1

Un sistema de $ Ax = 0 $$ tiene notrivial solución si y sólo si $\det A=0$.

Answer 2

Si el $ $ de #% de $$Au+Bv=0$% #% sistema tiene una solución no trivial, entonces $$Aw+Bz=0$ $ por lo tanto, $$u=-\frac{Bv}A=\frac{Avw}{Az}=\frac{vw}z$ $

Observación: el caso $$uz-vw=0$ debe ser considerado de una manera diferente pero fácil.

Answer 3

Si configura la matriz de coeficientes aumentada correspondiente, verás que la matriz tiene determinante % $ $$\left(\sin{(2\sqrt{\lambda}\pi)}\cos{(\sqrt{\lambda}\pi)} - \cos{(2\sqrt{\lambda}\pi)}\sin{(\sqrt{\lambda}\pi)}\right)$

Queremos que el determinante sea cero para asegurar que una solución no trivial.