Primero 10 dígitos después del punto decimal en el número $(1+\sqrt{3})^{2015}$

Question

La cuestión es cómo encontrar 10 primeros dígitos después del punto decimal en el número $(1+\sqrt{3})^{2015}$.

Yo sigo corriendo hacia este tipo de problemas en un contexto de polinomios simétricos.

Answer 1

Sugerencia: (i) el número $(1+\sqrt{3})^{2015}+(1-\sqrt{3})^{2015}$ es un entero. Podemos ver esto imaginando expansión utilizando el teorema del binomio. Términos con potencias impares de $\sqrt{3}$ cancelación.

(ii) el número $(1-\sqrt{3})^{2015}$ es muy pequeño en valor absoluto y negativo. Así $(1+\sqrt{3})^{2015}$ es casi un entero.

Answer 2

Otra forma de ver que $u_n=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n$ es un número entero es a exponer una simple repetición de tres períodos para él. $$ u_ {n+1} = 2u_n + u_ {n-1} $$