Evaluación de una integral triple impropia convergente sobre la esfera unitaria

Question

En el ejercicio 5 (f) del libro Advanced calculus de Angus Taylor (p. 659) se pide encontrar el valor de la siguiente integral si es convergente:

$$I:=\underset{R}{\iiint}\dfrac{x^2 y^2 z^2}{r^{17/2}}\mathrm dV$$

donde $R$ es la esfera unitaria $x^2+y^2+z^2\leq 1$ y $r^2=x^2+y^2+z^2$ .

Observando que $\dfrac{x^2 y^2 z^2}{r^{17/2}}\leq \dfrac{r^6}{r^{17/2}}=r^{-5/2}$ He demostrado que $I$ es convergente.

Utilizar las coordenadas esféricas $r$ , $\theta $ , $\phi $ es decir

$$\begin{align*}x&=r\sin \phi \cos \theta\\y&=r\sin \phi \sin \theta\\z&=r\cos \theta\end{align*}$$

Transformé la integral $I$ en

$$I=\int\nolimits_0^{2\pi }\left(\int_0^{\pi }\left(\lim_{\delta \to 0}\int_{\delta }^1\left(r^2 \sin \phi\right)\dfrac{x^2 y^2 z^2}{r^{17/2}}\;\mathrm dr\right)\;\mathrm d\phi \right)\;\mathrm d\theta$$

$$=\lim_{\delta \to 0}\left( \int_{\delta }^1 r^{-1/2}\mathrm dr\right)\int_0^{2\pi }\cos^4 \theta \sin^2 \theta \mathrm d\theta\int_0^{\pi }\sin^5 \mathrm d\phi $$

$$=2\cdot \dfrac18 \pi \cdot \dfrac{16}{15}=\dfrac4{15}\pi $$

En las soluciones la respuesta es $\dfrac8{105}\pi$ . Como a veces hay hay algunas erratas del libro (en los ejercicios) para evitar que se copien indebidamente, pido lo siguiente

Pregunta: Cuál es la solución correcta, $\dfrac4{15}\pi $ o $\dfrac8{105}\pi $ ?

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ACTUALIZACIÓN (Corrección) en lugar de $z=r\cos \theta $ es

$z=r\cos \phi $

Ver un comentario de whuber .

La integral $I$ se transforma en

$$I=\int_0^{2\pi }\left(\int_0^{\pi }\left(\lim_{\delta \to 0}\int_{\delta }^1\left(r^2 \sin \phi\right)\dfrac{x^2 y^2 z^2}{r^{17/2}}\;\mathrm dr\right)\;\mathrm d\phi \right)\;\mathrm d\theta$$

Desde

$$(r^2 \sin \phi )\dfrac{x^2 y^2 z^2}{r^{17/2}}=(r^2\sin \phi )\dfrac1{r^{17/2}}\left( r\sin \phi \cos \theta \right) ^{2}\left( r\sin \phi \sin \theta \right) ^{2}\left( r\cos \phi \right) ^{2}$$

$=r^{-1/2}\cos ^{2}\theta \cdot\sin ^{2}\theta \cdot\cos ^{2}\phi \cdot\sin ^{5}\phi $ ,

la integral transformada se convierte (si estoy en lo cierto)

$$I=\left(\lim_{\delta \to 0} \int_{\delta }^1 r^{-1/2}\mathrm dr\right)\int_0^{2\pi }\cos^2\theta\cdot\sin^2\theta \;\mathrm d\theta \int_0^{\pi }\cos^2 \phi \cdot\sin^5 \phi \;\mathrm d\phi$$

$$=2\cdot \dfrac14 \pi \cdot \dfrac{16}{105}=\dfrac8{105}\pi$$

La solución correcta será $\dfrac8{105}\pi $ como en el libro.

Answer 1

Para esta respuesta, utilizaré $\rho$ en lugar de $r$ Suelo confundir las cosas cuando se trata de coordenadas cilíndricas y esféricas

Convirtiendo el integrando original en coordenadas esféricas se obtiene

$$\frac{1}{16}\frac{(\sin(2\theta)\sin(2\phi)\sin(\phi))^2}{\rho^{5/2}}$$ que multiplicamos por el jacobiano $\rho^2 \sin(\phi)$ para la triple integración para dar el integrando final $$\frac{1}{16}\frac{(\sin(2\theta)\sin(2\phi))^2\sin(\phi)^3}{\sqrt{\rho}}$$ En cuanto al establecimiento de los límites de la integración, podemos aprovechar la simetría y cortar la esfera unitaria en octantes para simplificar las matemáticas, así: $$8\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}{\frac{1}{16}\frac{(\sin(2\theta)\sin(2\phi))^2\sin(\phi)^3}{\sqrt{\rho}}}\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\rho$$ y luego sacar el término constante para dar $$\frac12\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}{\frac{(\sin(2\theta)\sin(2\phi))^2\sin(\phi)^3}{\sqrt{\rho}}}\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\rho$$ Separemos las cosas: $$\frac12\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}\rho}{\sqrt{\rho}}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)^2 \mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi/2}{\sin(2\phi)^2\sin(\phi)^3}\mathrm{d}\phi$$ La integral con respecto a $\rho$ es 2, lo que anula el factor multiplicativo, por lo que nos queda $$\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)^2 \mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi/2}{\sin(2\phi)^2\sin(\phi)^3}\mathrm{d}\phi$$ Evaluando las integrales angulares se obtiene: $$\left.\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(4\theta)}{8}\right|_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}=\frac{\pi}{4}$$ $$\left.-\frac{5\cos(\phi)}{16}-\frac{\cos(3\phi)}{48}+\frac{3\cos(5\phi)}{80}-\frac{\cos(7\phi)}{112}\right|_{\phi=0}^{\phi=\pi/2}=\frac{32}{105}$$ y obtenemos el resultado $\frac{8\pi}{105}$ .

Answer 2

Como doble comprobación, realicemos la integral de una manera completamente diferente (¡para que mis errores no se solapen con los tuyos!).

Resulta práctico utilizar una notación condensada. Escribiré $[i,j,k;a]$ para el valor de $x^{2 i}y^{2 j}z^{2 k} \rho^{2 a}$ integrado sobre la esfera unitaria, donde $i,j,k$ son integrales y $a$ es real. Estas relaciones son fáciles de establecer:

• $[i,j,k;a]$ es invariable bajo permutaciones de $(i,j,k)$ .

• $6 [1,1,1;a] = [0,0,0;a+3] - 3[3,0,0;a] - 18[2,1,0;a]$ es una consecuencia de la expansión de $\rho^6 = (x^2+y^2+z^2)^3$ como un multinomio, utilizando la primera propiedad para recoger términos iguales, y aislando $[1,1,1;a]$ en la lhs.

• $[i,j,k;a+1] = [i+1,j,k;a] + [i,j+1,k;a] + [i,j,k+1;a]$ se desprende de $\rho^2 = x^2 + y^2 + z^2$ . Utilice esto para calcular $[2,1,0;a]$ en términos de $[3,0,0;a]$ y $[2,0,0;a+1]$ .

• $[n,0,0;a] = \frac {4 \pi} {(2 n + 1) (2 n + 3 + 2 a)}$ puede obtenerse mediante integración por partes en coordenadas cilíndricas o realizando directamente la integración de $ z^{2 n} \rho ^ {2 a}$ sobre la esfera, lo que es muy fácil de hacer (porque la parte angular sólo implica $\phi$ y el integrando es exacto). (El numerador es el área de la esfera unitaria y los factores del denominador provienen de integrar un $2 n$ potencia (en la parte angular de $z$ que se separa del $\rho$ integral) y una $2 n + 2 a + 2$ potencia debido a la $\rho^{2 n} \rho^{2 a} \rho^2 d \rho$ término en el integrando). Incluso cuando $a \lt 0$ Esto se justifica siempre que $2 n + 3 + 2 a \gt 0$ porque la integral sigue convergiendo en el origen.

A partir de ellas obtenemos algebraicamente

$$\eqalign{ [1,1,1;a] = &\frac{1}{6} \left( [0,0,0;a+3] - 3 [3,0,0;a] - 18 [2,1,0;a] \right) \cr = &\frac{4 \pi} {6} \left( \frac{1}{2 a+9} - \frac{3}{7 (2 a+9)} - \frac{18}{35(2 a+9)} \right) \cr = &\frac{4 \pi}{105 (2 a+9)}. }$$

Configuración $2 a = -17/2$ da la respuesta del libro de texto $\frac{8 \pi}{105}$ .