Entero $N$ con ciertas propiedades

Question

Encontrar todos los números enteros $N$ con la siguiente propiedad:

Si es divisible por $n+1$ $N$, la suma de los %#% de #% factores también es divisible por $n$.

No veo cómo se utiliza el hecho de que la suma de factores de %#% de #% es divisible por $N$. ¿Cómo podemos encontrar todos eso números $n$?

Answer 1

Si $N$ obras, a continuación, $N$ debe satify que $a=a^{-1} \bmod N$ al invertible $a$.

Prueba: tome una invertible $a\bmod N$. Tomar un primer $p$ que es congruente a $a\bmod N$ y el otro $q$ que es congruente a $-a^{-1}\bmod N$ (posible del teorema de dirichlet). Observe que $pq+1$ es un múltiplo de a $N$ y, por tanto, $\sigma(pq)=pq+1+p+q$ es también un múltiplo de $N$. Llegamos a la conclusión de $p\equiv-q\bmod N\implies a \equiv a^{-1}\bmod N$.

Por lo tanto el único valores de $N$ que el trabajo puede ser$1,2,3,4,6,8,12$$24$. (esto es una consecuencia del hecho de que la multiplicación de los grupos de $\mathbb Z_p^n$ es cíclico si $p$ es impar y es congruente a $\mathbb Z_{2^{n-2}}\times \mathbb Z_2$ al $p=2$).

$N=1$ claramente funciona.

$N=2$ no funciona, a pesar de que claramente es sólo gracias a la técnica de casos $n=1$.

$N=3$ obras, porque si $n\equiv -1 \bmod 3$, a continuación, uno de los principales factores de $p^a$ debe ser congruente a $-1\bmod 3$ y, a continuación, tenemos que $\frac{p^{a+1}-1}{p-1}$ es un múltiplo de a $3$.

$N=4$ obras, debido a que uno de los factores primos $p^a$ debe ser congruente a $-1\bmod 4$ y esto significa que $p^{a+1}-1$ es un múltiplo de a $8$ (debido a que las extrañas plazas se $1\bmod 8$). Claramente esto implica que $\frac{p^{a+1}-1}{p-1}$ es un múltiplo de a $4$.

$N=8$ obras, la prueba tiene un par de casos y usos de levantar el exponente lema, pero no es demasiado difícil.

Finalmente es claro de lo anterior que $6,12,24$ también todo el trabajo.

Así que la respuesta final es $1,3,4,6,8,12,24$