El finito analógica del axioma de elección es cierto, y parece altamente intuitiva que sería cierto para el caso infinito. Es, sin embargo, indecidible. A la hora de explicar esto a mí mismo o a los demás, lo que normalmente se nota es que nuestras intuiciones sobre conjuntos finitos no necesariamente para conjuntos infinitos, y debemos tratar de deshacerse de ellos. Pero esta sí es una intuición que yo estoy buscando para fortificar. Por lo tanto, me pregunte, ¿cuáles son los ejemplos de teoremas que mantener cierto para conjuntos finitos, y a la mayoría de la gente parece ser cierto para conjuntos infinitos, pero no. I. e., Estoy buscando algo que es demostrablemente falsa para conjuntos infinitos en lugar de simplemente indecidible.
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bburGsamohT
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Tomar un conjunto de números racionales $A$ tal que $$ \sum_{a\in A}=x<\infty. $$ Si $A$ es finito, entonces $x$ es racional, lo cual no es necesariamente cierto si $A$ es infinito. Esto no tiene mucho que ver con los juegos de verdad, sino que muestra cómo ser cerrado bajo un número finito de operaciones no determinan el comportamiento bajo arbitrariamente muchas operaciones. Usted puede jugar a este mismo juego con las intersecciones de conjuntos cerrados.
También se puede ver en el juego de poder de un conjunto. El juego de poder de $A$ es finito si y sólo si $A$ es finito, y es, de hecho, uncountably infinito si $A$ es infinito.
Otra opción que se ocupa de las funciones de un conjunto a sí mismo. Deje $f$ ser una función de $A$ a sí mismo. Si $f$ es inyectiva, entonces es automáticamente bijective y por lo tanto invertible si $A$ es finito. Sin embargo, esto no necesariamente se si $A$ es infinito.
Un último ejemplo: cualquier subconjunto de un conjunto finito tiene estrictamente menor cardinalidad que el conjunto original. Sin embargo, esto no funciona en el caso infinito, como se puede ver observando el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números enteros.
Bueno, hay un montón de ejemplos. Como no estoy seguro de que axiomatization que te gustaría usar, voy a dar un par de ejemplos en diferentes entornos. Y mientras que usted hizo hincapié en que usted no está interesado en "indecidible" ejemplos, voy a la lista donde se muestran la necesidad de (algún tipo de) la elección.
(En todo, estoy suponiendo la consistencia de $ZF$)
- $ZF$(alguna opción?): Deje $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ ser una secuencia de reales s.t. $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge condicionalmente. Entonces para cualquier permutación $\tau \colon \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ con finito de apoyo (por ejemplo, $\tau(n) \neq n$ por sólo un número finito de $n \in \mathbb N$) $\sum_{n = 1}^\infty a_{\tau(n)}$ tiene el mismo valor. Por otro lado: Para cualquier $x \in \mathbb R$, no es una permutación $\sigma_x \colon \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ s.t. $x = \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma_x(n)}$. Esta es la Riemann teorema de las series y, probablemente, el primer ejemplo no trivial en esta área de la que me he encontrado.
- $ZF$: Dado un conjunto finito $X$, cada función inyectiva $f \colon X \rightarrow X$ es surjective. Esto es falso para algunos conjuntos infinitos. Ver Dedekind-infinito.
- $ZFC$: El de arriba es falsa para todos los conjuntos infinitos.
- $ZFC$: Por cada finito (matemática) juego entre dos jugadores, uno de ellos tiene una estrategia ganadora. Esto es falso infinito de juegos. Véase La Determinación
- $ZF+ \neg C$: Es coherente que por cada infinito juego de un jugador tiene una estrategia ganadora.
- $ZF$: Mientras que cada finito de orden lineal está bien fundada, hay infinitas mal fundada lineal de los pedidos (por ejemplo,$(\mathbb Z, <)$)
- $ZF$: Dados los conjuntos no vacíos a $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots$, a continuación, para cada $n \in \mathbb N$ $\bigcap_{i=1}^n A_i \neq \emptyset$. Sin embargo, hay ejemplos s.t. $\bigcap_{i=1}^\infty A_i = \emptyset$ (por ejemplo,$A_i = \{i, i+1, \ldots \}$)
- $ZF$: Por un fijo de cardinalidad finita $\kappa$, hay (hasta el fin de isomorfismo) exactamente un orden bien de tamaño $\kappa$ (el "tamaño" de un bien de orden $(X, \prec)$ denota la cardinalidad de a $X$). Esto es falso infinito cardinalidades $\kappa$.
- $ZF$ (en realidad, yo soy el nota seguro de si algunos de los débiles forma de elección se utiliza a lo largo del camino...): Cada campo finito es perfecto. Hay infinidad de campos, que no son perfectos.
- $ZF$: Por cada campo finito $K$, existen polinomios $f \neq g$ s.t. $f(x) = g(x)$ todos los $x \in K$. Esto es falso para algunos infinito campo (<- algunos débiles forma de elección?).
- $ZFC$: Si $K$ es un infinito campo y $f,g$ son polinomios s.t. $f(x) = g(x)$ todos los $x \in K$,$f=g$. En otras palabras: La anterior es falsa para todos los infinitos campos.
- $ZFC$: Para cualquier número finito de $ZFC$-axiomas, $\phi_1, \ldots, \phi_n$, hay un modelo de $M \models \phi_1, \ldots, \phi_n$
- La declaración "no es un modelo de $ZFC$" no es demostrable en $ZFC$.
- $ZF$: Dos finito, de la escuela primaria de los modelos equivalentes $M$, $N$ siempre son isomorfos. Esto no es cierto para el infinito, en la escuela primaria de los modelos equivalentes.
- ...
laleh8798
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Si $K$ es una extensión de Galois del campo $F$ % del grupo de Galois $G$, a continuación cada subgrupo de Gal $\,(K/F)$ corresponde a un intermedio presentado: esto ocurre cuando el grupo $G$ es finito y falso para el caso infinito.
Un polinomio en una sola variable compleja está totalmente determinado por su ubicación de las raíces y el valor en $0$; sin embargo en el caso de grado infinito (serie de potencia) es falsa.
Tanner Swett
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Lacónico versión: la existencia de prueba de trivial ultrafilters para conjuntos infinitos requiere el axioma de elección.
Supongamos que hay un conjunto $X$. Alguien sigue la entrega a los subconjuntos de a $X$, y clasificarlos en dos grupos, SÍ y NO. El método que se utiliza para ordenar de ellos satisface las siguientes propiedades:
- El conjunto vacío entra en el NO de la pila.
- Si la mano que dos conjuntos de $A$$B$, e $A$ va en el SÍ de la pila, y $B$ es un superconjunto de a$A$, $B$ también entra en el SÍ de la pila.
- Si dos conjuntos de entrar en el SÍ de la pila, entonces su intersección también entra en el SÍ de la pila.
- Si un juego va en el SÍ de la pila, su complemento entra en el NO de la pila.
A continuación, el método de clasificación de los conjuntos de los pilotes es una ultrafilter.
Si $X$ es un conjunto finito, entonces su ultrafilter debe consistir simplemente en verificar si un determinado elemento ( $a$ ) $X$ está presente, y poner el subconjunto en el SÍ de la pila si es así, y la pila de otra manera. Esta es la trivial ultrafilter con el principal elemento de $a$.
Si $X$ es un conjunto infinito, es esto cierto? En ZFC, la respuesta es no: hay otros ultrafilters que no son triviales ultrafilters. (Si usted me puede dar un ejemplo de un no-trivial de ultrafilter, voy a comprar un coche.) En ZF, la respuesta es tal vez: ZF es consistente con la instrucción "hay no trivial ultrafilters" y la declaración "no hay no-trivial ultrafilters". (Por separado, no junto.)
Yo, personalmente, parece más intuitivo pensar que no trivial ultrafilters ¿ no existe, sobre la base de que si quiero actuar como un no-trivial de ultrafilter, yo no puedo hacer esto mediante la comprobación de cualquier número finito de elementos de $X$ para la membresía en el subconjunto que me dan. Tengo que, de alguna manera, tomar la decisión basándose en la información que no puede ser encontrado de esta manera, lo que me parece sospechoso.
