¿Por qué son diferentes la topología de caja y la topología de producto en productos infinitos de espacios topológicos?
Estoy leyendo la topología de Munkres. Mencionó ese hecho, pero no puedo ver por qué es cierto que son diferentes en productos infinitos.
Entonces, ¿alguien puede decirme por qué no son iguales en productos infinitos de espacios topológicos?
Dejemos que $X_n$ sean espacios topológicos para cada $n\in\mathbb{N}$ . Para evitar los problemas señalados por Najib, supongamos que para cada $n$ que $X_n$ no es un punto, y la topología en $X_n$ no es la topología trivial (es decir, hay un conjunto abierto además de $\emptyset$ y $X_n$ ). Para cada $n$ , dejemos que $U_n \subset X_n$ sea un subconjunto abierto adecuado y no vacío. Entonces el conjunto $U := \prod\limits_{n\in\mathbb{N}} U_n$ está abierto en la topología de caja en $\prod\limits_{n\in\mathbb{N}} X_n$ pero no la topología del producto.
La topología del producto está generada por conjuntos de la forma $\prod\limits_{n\in\mathbb{N}} U_n$ donde cada $U_n$ está abierto en $X_n$ y, para todos los casos, excepto para un número finito de $n$ tenemos $U_n = X_n$ . En otras palabras, casi todos los factores tienen que ser el espacio entero. Para la topología de caja, cada factor $U_n$ sólo tiene que estar abierto en $X_n$ .
Esta es una forma de entender por qué la topología del producto es más importante (aunque la topología de la caja parece más intuitivo al principio). La topología del producto es la topología más pequeña tal que para cada $k\in\mathbb{N}$ el mapa de proyección $\pi_k:\prod\limits_{n\in\mathbb{N}} X_n\to X_k$ es continua. La preimagen de un conjunto abierto $U_k\subseteq X_k$ a través de $\pi_k$ es uno de los conjuntos básicos para la topología del producto descrita anteriormente: concretamente, es $U_k$ en el $k$ y todo el espacio $X_n$ en cada uno de los otros factores. Para generar una topología, necesitamos incluir intersecciones finitas de tales conjuntos (por lo tanto, no todo el espacio en posiciones finitas), pero no intersecciones infinitas. Así que pensando en querer la $\pi_k$ para ser continua, la topología de producto tiene "suficientes" conjuntos abiertos, y la topología de caja añade conjuntos abiertos que no son necesarios.
Un pequeño detalle: $U_n \neq \emptyset$ (por lo que la topología de caja y la topología de producto sí coinciden si todas, salvo un número finito de $X_n$ tienen como máximo un elemento).
Sí, muy buen punto. He editado para asumir que cada $X_n$ tiene un $U_n$ tal que $\emptyset \varsubsetneq U_n \varsubsetneq X_n$ .
Las otras dos respuestas [editar: en el momento de escribir esto] son esencialmente correctas, pero aquí hay un ejemplo concreto de por qué la topología de caja tiene "demasiados" conjuntos abiertos.
Considere la función $f : \mathbb R \to \mathbb R^\mathbb N$ dado por $f(x) = (x,x,x,\dots)$ . Consideremos el subconjunto de $\mathbb R^\mathbb N$ dado por $\prod_{n\ge 1}(-2^{-n},\,2^{-n})$ . En la topología de caja esta es abierta. Su preimagen bajo $f$ es $\{ x \in \mathbb R : \forall n. x \in (-2^{-n},\,2^{-n}) \}$ pero es fácil ver que es sólo $\{ 0 \}$ que no está abierto. Así que $f$ ¡no es continua!
Puedes decidir o no que este es un resultado sorprendente, pero la propiedad esencial de la topología del producto es que puedes identificar funciones continuas simplemente mirando cada proyección individual, y con $f$ que simplemente no es cierto: toda proyección es continua, pero $f$ no lo es.
No entiendo la noción $X\in (2^{-n},2^n)$ ¿Qué es eso? ¿Quieres decir que $x$ ¿es una coordenada? o se utiliza una definición teórica de conjunto para $(a,b)$ ? Además, ¿no es $\prod_{n \ge 1} (2^{-n},2^n)$ un subconjunto de $\mathbb{R^\mathbb{N}} \times \mathbb{R^\mathbb{N}}$ no $\mathbb{R^\mathbb{N}}$ ?
Perdón, aquí me refiero al intervalo abierto $(a,b)$ es decir $\{x \in \mathbb R : a < x < b \}$ . Ahora veo que es una notación bastante confusa cuando también estoy usando $(x,x,x,\dots)$ para referirse a un vector en $\mathbb R^\mathbb N$ pero no se me ocurre inmediatamente una forma mejor de escribirlo.
La forma más sencilla, quizás, de ver una diferencia particular es el producto de un espacio discreto finito.
Considere el producto de $\Bbb N$ copias de $\{0,1\}$ (con la topología discreta). El resultado es el espacio de Cantor. Este es un espacio métrico compacto, y por lo tanto tiene una base contable, y sólo $2^{\aleph_0}$ conjuntos abiertos.
Si se considera la topología de caja sobre el mismo producto, se obtiene un espacio discreto de tamaño $2^{\aleph_0}$ que, por tanto, tiene $2^{2^{\aleph_0}}$ conjuntos abiertos, y ciertamente no es compacto.
Más generalmente, en cualquier producto de espacios Hausdorff no triviales, el subespacio que es producto de dos puntos fijos en cada coordenada es discreto en topología de caja y compacto en topología de Tychnoff.
Lo que quiero decir es que tu ejemplo demuestra que las dos topologías son (salvo excepciones obvias) distintas, en lugar de ser sólo un ejemplo.
Sus conjuntos abiertos básicos son los mismos: productos directos de conjuntos abiertos. Excepto en la topología del producto, todos esos conjuntos abiertos, excepto algunos finitos, deben ser todo el espacio en esa coordenada. Cualquier intersección finita de estos tipos de conjuntos también tiene la misma propiedad, por lo que para cualquier conjunto abierto en la topología del producto, la imagen bajo ese conjunto abierto es el codominio completo para todas las proyecciones de coordenadas, excepto para un número finito.
Por ejemplo, $(0,1)^\Bbb N\subset\Bbb R^\Bbb N$ es abierta en la topología de caja, pero es "demasiado estrecha" para ser abierta en la topología de producto. Sin embargo, $(0,1)\times\Bbb R\times\Bbb R\times\cdots$ es abierto en la topología del producto, ya que sólo uno de los factores no es todo el espacio. (Por supuesto, sólo se trata de conjuntos básicos. En general, los conjuntos abiertos no pueden describirse como productos directos de conjuntos abiertos de cada espacio de coordenadas, sino como conjuntos arbitrarios sindicatos de estos conjuntos abiertos básicos). La topología del producto en $\prod X_i$ se trata de hacer continuas todas las proyecciones de coordenadas y nada más, por lo que los conjuntos abiertos en la topología del producto son generados por las preimágenes de los conjuntos abiertos bajo estas proyecciones de coordenadas -de ahí sacamos los conjuntos abiertos básicos.
Pero todo lo que está abierto en la topología del producto está abierto en la topología de la caja. Para infinitos productos, entonces, la topología de caja es estrictamente más fina que la topología de producto.
La topología de caja es idéntica a la topología de producto sobre productos finitos de espacios topológicos, porque el sistema de conjuntos abiertos es cerrado bajo intersecciones finitas. Como no es cerrado bajo intersecciones arbitrarias, esto ya no es cierto para productos infinitos.
En un " sistema abierto "(no es realmente un nombre establecido ), el sistema de conjuntos abiertos sólo se cerraría bajo uniones arbitrarias, pero no se diría nada en absoluto sobre las intersecciones. En ese caso, la topología de caja y la topología de producto son diferentes incluso para productos finitos de "sistemas abiertos". (La topología de caja define, no obstante, un producto simétrico monoidal, pero ¿y qué?) El cierre bajo uniones arbitrarias permite definir un operador interior, que es una parte importante de un espacio topológico. El cierre bajo intersecciones finitas garantiza que los espacios topológicos se comporten de forma cercana a nuestras expectativas intuitivas, lo que también explica su cercanía conexiones con la lógica formal intuicionista .
¿Podría decirme dónde puedo leer más sobre la relación entre "cierre de intersecciones finitas" y "comportamiento de los espacios topológicos cerca de nuestras expectativas intuitivas"? y entre "cierre bajo uniones" y "operador interior"? Porque me he preguntado dónde se definen los espacios topológicos de la forma en que lo hacen. Gracias de antemano.
@MathsLover Los espacios topológicos teóricos de conjuntos fueron definidos por Felix Hausdorff en su libro "Grundzüge der Mengenlehre", que apareció en 1914. En 1912, Jan Brouwer había iniciado el intuicionismo, pero el trabajo de Felix Hausdorff no se basa realmente en él. La página de publicación enlazada de Dirk van Dalen es una buena fuente para las conexiones entre la lógica intuicionista formal y los espacios topológicos. Si los enlaces de esa página no funcionan en su navegador, copie la "dirección del enlace" deseada y sustituya "papers.html" en las direcciones actuales por "articles/..." de la "dirección del enlace" copiada.
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Porque la topología de caja tiene más conjuntos abiertos.