He estado leyendo Nakahara "la Geometría, la Topología y Física" y encontré algo muy extraño en la sección 10.3.3 que discute el significado geométrico de la curvatura de una conexión. Es posible encontrar el texto siguiente:
Primero mostramos que la $\Omega(X,Y)$ los rendimientos de la componente vertical de la Mentira soporte de $[X,Y]$ horizontal de los vectores $X,Y\in H_u P$. Se desprende de lo $\omega(X)=\omega(Y)=0$ que
$$d_P\omega(X,Y)=X\omega(Y)-Y\omega(X)-\omega([X,Y])=-\omega([X,Y]).$$
Mi problema es el siguiente. Como he estudiado previamente en otros libros, la Mentira de soporte sólo puede ser calculada para campos vectoriales. Es decir, dada una suave colector $M$, un punto de $a\in M$ y dos vectores $v,w\in T_a M$ es totalmente sin sentido hablar de $[v,w]$. En ese caso, $[\cdot,\cdot]$ sólo tiene sentido para campos vectoriales.
En el texto, Nakahara está hablando acerca de la selección de dos vectores $X,Y\in H_u P$ horizontal subespacio del espacio de la tangente $T_u P$ $u\in P$ y, a continuación, él está hablando acerca de la Mentira de soporte de $[X,Y]$.
Y este no es el único lugar donde lo hace. Algunos párrafos más adelante podemos ver la misma cosa que ser hecho de nuevo, por lo que es , ciertamente, no es una errata.
Es realmente un error en el libro? O es que hay algo que me falta? Quizás hay alguna extensión natural de los vectores para campos vectoriales, cuando se trata con conexiones en los principales paquetes y yo no soy consciente de eso.
Me estoy perdiendo algo o el libro tiene un error en ella?
