¿Cómo concluir que una interacción es atractiva de su transformada de Fourier (representación del espacio del ímpetu)?

Question

Antecedentes: En el libro de Altland y Simons, de la materia Condensada, la teoría de campo, en el ejercicio de la 4.5.7, se supone que uno debe utilizar el efectivo de la teoría de campo método para integrar la phonon campo en una interacción electrón-fonón sistema y encontrar un atractivo electrón-electrón la interacción.

El formulario que se encuentra para la acción efectiva es de $$ S_\text{int} =- \frac{\gamma}{2m}\sum_{\mathbf q, \omega} \frac{p^2}{-\omega^2 + q^2}\rho_{-q}\rho_q $$ donde $\gamma > 0$ es una constante de acoplamiento, $m$ de la masa del electrón, $q = |\mathbf q|$ es el impulso, $\omega$ frecuencia y $\rho$ es la densidad de electrones.

Ahora Altland y Simons escribir que al $\omega<q$ la interacción es atractivo. Sin embargo, no estoy seguro de cómo llegar a esta conclusión, ya que la acción es en el momento la forma del espacio, es decir, tenemos a su transformada de Fourier. No puedo pensar en una obvia razón intuitiva de por qué debe haber una relación entre una función de signo, y su transformada de Fourier de la señal. Tal vez hay uno y no lo veo, o Es que hay un más sofisticado principio en el trabajo aquí?

He encontrado en Google algo que se llama Bochners teorema que da una condición para que una función sea la transformada de Fourier de una función positiva. Pero no puedo recordar de ver este teorema mencionado en la física de texto.

Answer 1

De hecho, no hay ninguna relación entre el signo de un potencial y el signo de su transformación de Fourier. Pero, ¿por qué nos importa esto?

En el campo de la teoría, el criterio es muy simple, una interacción atractiva si su coeficiente (en el Hamiltoniano) es negativo, y es repulsiva si su coeficiente es positivo. De acuerdo a este criterio, Altland y Simons, la conclusión es sencilla.

Creo que tu confusión puede surgir a partir de la imagen de la mecánica clásica, en la que una interacción atractiva es un potencial que crece con el inter-partícula de la distancia, de modo que las fuerzas entre las partículas son apuntando el uno al otro de forma atractiva. Pero aquí, en la frecuencia de impulso espacio, vemos que no hay noción de "inter-partícula de la distancia", y no hay ningún signo de que el "crecimiento" de la energía potencial. Ni siquiera sabemos lo que es la "fuerza" entre las partículas, así que ¿cómo podemos juzgar si la interacción es atractivo o no? Debido a que el concepto de "fuerza" ha sido descartada en el campo de la teoría, el atractivo se define de una manera diferente en el campo de la teoría del contexto. La energía en lugar de la fuerza se convierte en nuestro criterio. Si la energía de interacción disminuye con el cuadrado de la densidad de las partículas, entonces sabemos que la interacción debe ser atractivo tal que las partículas pueden obtener energía por conseguir juntos. A continuación, a partir de la expresión $\rho_{-q}\rho_q$ es la densidad cuadrado, por lo que con sólo mirar el signo del coeficiente de en frente de ella, podemos saber si la interacción es atractivo o no.

Answer 2

Yo no creo que este sea un espacio real instrucción. La declaración precisa es: cuando se tiene una partícula hoyos par con el ímpetu $\vec q$ otra partícula hoyos par con el impulso opuesto (mirar hacia atrás en la definición de $\rho$, usted verá que representa una partícula hoyos par), cuando el intercambio de fonones tiene una frecuencia menor que el impulso, la efectiva interacción entre estas dos partículas pares de agujeros es atractivo, porque Hamilton aparece en la (tiempo imaginario) de acción igual a sí mismo y ahora es negativa.

Intuitivamente, un electrón que viaja por un ion y polariza el entramado local, pero la excitación de celosía, que es phonon, vibra tan lentamente que se ve el segundo de electrones que pasa por después de que el primer electrón hojas, y porque la interacción entre los electrones y de iones es atractivo, el segundo electrón efectivamente se siente la atracción de la primera.