Solución de ecuaciones diferenciales parciales $x u_x + y u_y = \frac{1}{\cos u}$

Question

Tengo un problema con la siguiente tarea:

Consideremos una ecuación $x u_x + y u_y = \frac{1}{\cos u}$ . Encuentre una solución que satisfaga la condición $u(s^2, \sin s) = 0$ . Puedes escribir la solución en la forma implícita $F(x,y,u)=0$ . Encuentre algún dominio de $s$ valores para los que existe una solución única.

@edit:Mi progreso hasta ahora:

Sistema de características:

$\begin{cases} x'(s,\tau) = x \\ y'(s, \tau) = y \\ u'(s,\tau)=\frac{1}{\cos(u)}\end{cases}$ (las derivadas son con respecto a $s$ )

Condiciones iniciales:

$\begin{cases} x(0,\tau)=\tau^2 \\ y(0, \tau) =\sin(\tau) \\ u(0, \tau) = 0 \end{cases}$

Calculamos las soluciones generales para esas 3 ecuaciones, aplicamos las condiciones iniciales, y obtenemos:

$\begin{cases} x(s,\tau) = \tau^2 e^s \\ y(s, \tau)=\sin(\tau) e^s \\ u(s, \tau) = \arcsin(s) \end{cases}$

¿Cómo puedo escribir ahora la solución en forma de $F(x,y,u)$ ?

Estaría muy agradecido por cualquier ayuda ;-)

Saludos cordiales,

David.

Answer 1

Lo que tienes hasta ahora es correcto. Su último sistema de ecuaciones da como resultado $s = \sin u$ Por lo tanto $x = \tau^2 e^{\sin u}$ y $y = \sin \tau e^{\sin u}$ . Así que, $$|\tau| = \sqrt{xe^{-\sin u}}, \quad \tau = \arcsin (y\,e^{-\sin u})$$ lo que lleva a $$ \sqrt{xe^{-\sin u}} = |\arcsin (y\,e^{-\sin u})| $$ Ahí lo tienes, una ecuación implícita $F(x,y,u)=0$ .

Por supuesto, este cálculo es un campo minado de funciones no invertibles. Pero parece que todo funciona mientras $|s|\le 1$ y hay problemas después de eso, sobre todo debido a la división en $1/\cos u$ .

Answer 2

Siga el método de http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Example :

$\dfrac{dx}{dt}=x$ , dejando que $x(0)=1$ tenemos $x=e^t$

$\dfrac{dy}{dt}=y$ , dejando que $y(0)=y_0$ tenemos $y=y_0e^t=y_0x$

$\dfrac{du}{dt}=\dfrac{1}{\cos u}$ tenemos $\sin u=t+f(y_0)=\ln x+f\left(\dfrac{y}{x}\right)$

Caso $1$ : $u(x=s^2,y=\sin s)=0$ :

$f\left(\dfrac{\sin s}{s^2}\right)=-\ln s^2$

$\therefore\sin u=\ln x+f\left(\dfrac{y}{x}\right)$ , donde $f(s)$ es la solución de $f\left(\dfrac{\sin s}{s^2}\right)=-\ln s^2$

Caso $2$ : $u(y=s^2,x=\sin s)=0$ :

$f\left(\dfrac{s^2}{\sin s}\right)=-\ln\sin s$

$\therefore\sin u=\ln x+f\left(\dfrac{y}{x}\right)$ , donde $f(s)$ es la solución de $f\left(\dfrac{s^2}{\sin s}\right)=-\ln\sin s$