enésima derivada de $e^{-x}\sin(x)$

Question

Lo intento pero no hay suerte. Aún no encuentro un patrón. El ejercicio consiste en hallar la enésima derivada de $e^{-x}\sin(x)$ probablemente por inducción.

Answer 1

Tenemos $\sin z = \Im(e^{iz})$ Por lo tanto: $$\frac{d^n}{dz^n}\left(e^{-z}\sin z\right)=\Im\left(\frac{d^n}{dz^n}e^{(i-1)z}\right)=\Im\left((i-1)^n e^{(i-1)z}\right)=2^{n/2}e^{-z}\,\Im\left(e^{i(z+3n\pi/4)}\right)$$ dando: $$\frac{d^n}{dz^n}\left(e^{-z}\sin z\right)=2^{n/2}e^{-z}\sin(z+3\pi n/4).$$

Answer 2

Quizás esta sea una manera más fácil. Ponga $g(x)= e^{(-1+i)x}$ y tenga en cuenta que su $f(x)$ es la parte imaginaria de $g(x)$ de verdad $x$ . Ahora $g^{(n)}(x) =(-1+i)^n e^{(1+i)x}$ Ahora estoy seguro de que puede continuar.