Una construcción explícita de una topología "doblemente débil"

Question

Deje $(X,s)$ ser un espacio vectorial topológico $\mathbb{F}$ con topología lineal $s$, que de ahora en adelante vamos refieren como el fuerte de la topología. A continuación, como es habitual, se puede construir el continuo espacio dual $(X,s)'$, que se compone de todos lineal mapas de $X \rightarrow \mathbb{F}$, que es continua con respecto a la fuerte topología. Ahora, podemos construir la topología débil $w$, el más pequeño de la topología en $X$ de manera tal que cada mapa de $\Lambda \in (X,s)'$ sigue siendo continua.

Así que ahora aquí está mi pregunta. La topología débil en $X$ de los rendimientos de un nuevo espacio vectorial topológico $(X,w)$, por lo que se puede construir una doble continua para eso también. Entonces, ¿qué $(X,w)'$? Debe al menos contener $(X,s)'$, por supuesto. Otras posibles preguntas:

• ¿Para qué tipo de TELEVISORES se puede inferir algo acerca de la estructura de $(X,w)'$ con respecto al $(X,s)'$? Lo que ocurre en la normativa espacio vectorial?
• Puede alguien darme una construcción explícita lo que indica que existe un lineal mapa de $X \rightarrow \mathbb{F}$ que no es continua en el fuerte de topología pero es continua en la topología débil?
• Supongo que podemos repetir este proceso para producir un "doblemente débil" topología $ww$ $X$ que es la más débil de la topología de tal forma que cada $\Lambda \in (X,w)'$ sigue siendo continua. A continuación, podemos producir otro continuo espacio dual $(X,ww)'$. ¿Este proceso se repite para siempre? ¿Terminar?

Answer 1

Si $F$ es una familia de funcionales lineales en un espacio vectorial $X$ a continuación, se induce una débil topología $w_F$$X$. El espacio dual de $(X,w_F)$ es el lineal lapso de $F$ en el dual algebraico de $X$. En particular, $(X,s)' = (X,w)'$ siempre.

Esta totalmente respuestas de la primera viñeta. También muestra que no hay ningún ejemplo como en la segunda viñeta y que el procedimiento en la tercera viñeta se estabiliza en $(X,w)$ después de un solo paso.

El punto es que si $\varphi \colon X \to \mathbb{F}$ $w_F$- continuo, a continuación, $U = \{x \in X \mid \lvert \varphi(x)\rvert \lt 1\}$ $w_F$- abrir barrio de $0$. Por definición de la topología débil, hay $f_1,\dots,f_n \in F$ $\varepsilon \gt 0$ tal que $V = \bigcap_{i=1}^n \left\{x \in X \mid \lvert f_i(x)\rvert \lt \varepsilon\right\} \subseteq U$ y, en particular,$\bigcap_{i=1}^n \ker f_i \subseteq \ker \varphi$. Por lo tanto, $\varphi$ es una combinación lineal de las $f_i$ (una prueba de esta última afirmación es aquí).

Usted puede encontrar una detallada de la prueba en casi todos los libros sobre espacios vectoriales topológicos. Una buena referencia es el capítulo 3 de Rudin del Análisis Funcional, véase en particular el Lema Teorema 3.9 y 3.10 (el Hausdorff suposición es sólo allí porque Rudin se supone localmente convexo espacios Hausdorff, como muchos autores lo hacen).