Que $f:[a,b]\to \mathbb R $. Supongamos que existe $F$ tal que $F'(x)=f(x)$ y que $|f|$ son Riemann integrable.
¿Cómo mostrar $f$ es Riemann integrable?
Respuesta
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$f$ es continua en todas partes $|f|$ es. Esto no es cierto en general para las funciones con valores reales, pero es cierto para los productos derivados.
Supongamos que $|f|$ es continua en a $c$. Por lo $\lim\limits_{x\to c}|f(x)|=|f(c)|$. Si $f(c)=0$, entonces se sigue que $\lim\limits_{x\to c}f(x)=0$. Supongamos que $f(c)\neq 0$, y supongamos que, para llegar a una contradicción, que $f$ no es continua en a $c$. Debido a $|f|$ es continua en a $c$, esto implica que $f$ toma valores positivos y negativos en cada barrio de $c$. Deje $\delta>0$ ser tal que $|x-c|<\delta$ implica $||f(x)|-|f(c)||<|f(c)|$. A continuación, $|x-c|<\delta$ implica que el $f(x)\neq 0$. Desde $f$ toma valores positivos y negativos en $\{x:|x-c|<\delta\}$, esto implica que $f$ no tiene el valor intermedio de la propiedad. Esto viola el teorema de Darboux. Era la suposición de que $f$ no es continua en a $c$ que llevó a esta contradicción, por lo $f$ es de hecho continua en $c$.
Un almacén de la función en $[a,b]$ es Riemann integrable si y sólo si el conjunto de puntos donde es discontinua tiene medida cero. Esto es para $|f|$, por lo tanto, también para $f$.
