Clases de Chern no son números, son?

Question

Deje $X$ ser un suave algebraica proyectiva variedad, decir $\mathbb C$. Deje $E$ ser un rango de $r$ vector paquete en la $X$. Podemos asociar con la $E$ sus clases de Chern $c_i(E)$. Cuando leí "$c_i(E)$", la primera cosa que me (automáticamente) hacer es pensar en dónde vive. Y vive en el codimension $i$ parte de el anillo de Chow $X$, es decir, $$ c_i(E)\en A^i(X). $$

Si $r>n=\dim X$, veo que podemos identificar a $c_n(E)\in A^n(X)$ con un número entero. Pero la lectura de algunos documentos, tuve la impresión de que uno puede hacer lo mismo para el otro $c_i$'s así. Así que mi pregunta es acerca de la terminología: ¿qué significa, para un vector paquete de $E$, para tener incluso o impar $c_i$, si las clases de Chern de vivir en $A^\ast(X)$?

Answer 1

La interpretación razonable sólo se me ocurre para "$c_i(E)$ incluso" es que hay es alguna clase de $a\in A^i(X)$ tal que $c_i(E)=2a$.
Sin embargo no tengo ninguna interpretación para "$c_i(E)$ es impar", excepto el algo ridículo que significa "$c_i(E)$ no es aún"...

Answer 2

En general, mi conjetura sería que incluso o _odd se refiere a la paridad del grado. En situaciones donde esto está bien definido, esto parece la explicación más razonable-aunque no sé sus referencias.

No tengo una muy buena intuición para el caso de $r\notin \{1,n\}$. Pero considere el $A^1 (X)$, el grupo de los divisores modulo racional de equivalencia. Dos divisores puede ser equivalente sólo si tienen el mismo grado, por lo que el grado está bien definido por un elemento de a $A^1 (X)$ y tiene sentido para referirse a su paridad.

De nuevo, a sabiendas de las referencias específicas que sería útil. Para todos los que me conocen de la definición general que participan tensoring con $\mathbb{Z}/2$ o algo así.