Prueba existe de que $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} f(x,y) = 2x + 2y = 0$

Question

Estoy tratando de probar mediante $\delta$$\epsilon$argumento que:

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} f(x,y) = 2x + 2y = 0$$

Lo que hago es, teniendo en cuenta que:

$\lvert x \rvert \leq \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$ y $\lvert y \rvert \leq \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$

Suma las dos desigualdades, dando:

$$\lvert x\rvert + \lvert y \rvert < 2\delta$$

Multiplicando ambos lados por 2 y utilizar la desigualdad triangular:

$$2\lvert x + y\rvert \leq 2\lvert x \rvert + 2\lvert y \rvert < 4\delta$$

Así que usando $\delta = \frac{\epsilon}{4}$ la prueba es completa.

¿He hecho algún error?

Answer 1

Esto se ve bien. Con fines semánticos, tal vez desee comenzar su prueba con "Let $\epsilon>0$ ser dado". Entonces simplemente fijar $\delta=\frac{\epsilon}{4}$ y ver que $$ \lvert f(x,y)\rvert<\epsilon$ $ $\lvert (x,y)\rvert<\delta.$ esto es simplemente ser nitpicky – por supuesto. Su trabajo es sólido.