¿Cuál es la diferencia entre una función monotónica y una función inyectiva? Una inyección es una función donde sus valores sólo pueden ser producidos una vez ($f(a)=f(b) \Rightarrow a=b$). Esto significa que una función es ya sea aumentando o disminuyendo. ¿No es el mismo para una función monótona?
Respuesta
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No, estas no son las mismas. Una cosa es que la inyectividad tiene sentido para las funciones entre arbitraria de conjuntos, pero para monotonía se necesita un orden en el dominio y codominio.
Por otro lado, estos conceptos son diferentes incluso para las funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Por ejemplo, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\begin{cases}x^{-1}&\mbox{if $x\ne0$}\\0&\mbox{if $x=0$}\end{cases}$ es inyectiva pero no monotónicas.
Supongo que usted tiene que mirar de nuevo a la definición de lo monótono. Hay dos casos: monótonamente creciente, o monótonamente decreciente. Una forma monotónica es uno o el otro, pero no una mezcla de los dos.
