Límite de $\frac{\sin(x+y)}{x+y}$ como (x,y)→(0,0)

Question

$$ \lim\limits_{(x, y)\a (0, 0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y} $$

Hice lo siguiente

$a)$ a lo largo de $x$ eje, el límite es de una

$b)$ a lo largo de $y$ eje el límite es de una

$c)$ a lo largo de $y=x$ el límite es de una

Puesto que existe más maneras de abordar el origen, yo sé que no puedo concluir a partir de los pasos que se indican anteriormente.

$d)$ a lo largo de $y= -x$

$\frac{\sin(x-x)}{x-x}$ no está definido. No es todavía posible para que la función tiene un límite, incluso a pesar de que no está definida en ese punto?

¿Cómo puedo concluir si un límite existe o no en tal caso?

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Así, $$ \lim\limits_{(x, y)\a (0, 0)}\frac{\sin(xy)}{xy} $$ Puede proceder de una manera similar y realizar una sustitución y el estado, el límite es de 1?

Answer 1

Que $x+y=t$ así que $t\to 0 $ $(x, y) \to (0,0)$ por lo tanto tenemos que $$\lim_{(x, y) \to (0,0)}\frac{\sin (x+y)}{x+y}=\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}=1$ $

Answer 2

$$\lim\limits_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y}$ $ Es de la serie de Taylor de $\sin(x+y)$ en torno a $(0, 0)$ $$ (x+y)-\frac16 (x+y)^3+O\left((x+y)^5\right) $ $ pues $$\lim\limits_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y}$ $ $$=\lim\limits_{(x, y)\to(0, 0)}\frac{(x+y)-\frac16 (x+y)^3+O\left((x+y)^5\right)}{x+y}$ % de $ $$=\lim\limits_{(x, y)\to(0, 0)}\left[1-\frac16 (x+y)^2+O\left((x+y)^4\right)\right]=1$$

Answer 3

Así $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(x+y)}{x+y} = 1$, ya que se trata de un simple límite geodésico y la forma es $\frac{\sin(0)}{0}$. Se puede sustituir $u = x+y$ y $\lim_{(x,y)\to(0,0)} x+y$ obviamente es 0. Haciendo la sustitución, obtenemos $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.