¿Para que valores de $a,b,c$ es la matriz $A$invertible?

Question

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{pmatrix}$ $$\Rightarrow\det(A)=\begin{vmatrix}b&c\\b^2&c^2\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a&c\\a^2&c^2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b\\a^2&b^2\end{vmatrix}\\=ab^2-a^2b-ac^2+a^2c+bc^2-b^2c\\=a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a).$$

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Claramente, $$\left\{\det(A)\neq0\left|\begin{matrix}c\neq b\\a\neq c\\b\neq a\\a,b,c\neq 0\end{matrix}\right.\right\}\\$ $

¿Es suficiente decir que la matriz es inversible, siempre que se cumplan todas las 4 restricciones? ¿Rendimiento de regla de Cramer más explícita resulta $a,b,c$ tal que $\det(A)\neq0$?

Answer 1

La matriz es un caso especial de la llamada matriz de Vandermonde (véase inducción para la matriz de Vandermonde).

det($A$) $=(a-b)(a-c)(b-c)$. Así que si $a\neq b,a\neq c, b\neq c, \space$det $(A)\neq 0$.

Answer 2

Supongamos que la matriz es singular. también lo es su transpuesta, que debe aniquilar a un vector distinto de cero $(h,g,f)$

Esto le da tres ecuaciones: fa $$ ^ 2 + ga + h = 0 \\ fb ^ 2 + gb + h = 0 \\ fc ^ 2 + gc + h = 0 \\ $$ de la álgebra de campos sabemos que una ecuación cuadrática puede tener a lo más dos raíces, por lo que los tres valores $a,b,c$ no todos ser diferente

Answer 3

Si $A$ es una matriz cuadrada, $\det(A)=\det(A^T)=\det\begin{pmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{pmatrix}$

Si se obtiene el $B$ $A$ mediante la adición de un múltiplo de una fila de $A$ a otra fila en $A$, $\det(B)=\det(A)\Rightarrow\text{let }B=\begin{pmatrix}1&a&a^2\\0&b-a&b^2-a^2\\0&c-a&c^2-a^2\end{pmatrix}\\\Rightarrow\det(B)=\det(A)=\begin{vmatrix}b-a&b^2-a^2\\c-a&c^2-a^2\end{vmatrix}=(c^2-a^2)(b-a)-(b^2-a^2)(c-a)\\\\=(c-a)(b-a)((c-a)-(b-a))=(c-a)(b-a)(c-b)\\\therefore\det(A)\neq0\iff\begin{cases}a\neq c\\a\neq b\\b\neq c\end{cases}$

Answer 4

Se trata de una transposición de la matriz de Vandermonde: http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix

Según la página de wikipedia, el determinante de la matriz será cero precisamente cuando ninguno de lo elementos $a, b$ o $c$ son los mismos.

Answer 5

Puede reescribir el determinante como $(b-a)(c-a)(c-b)$, $\det(A)$ es distinto de cero, precisamente cuando $a,b,c$ son todas distinta (la nota que uno de los $a,b,c$ puede ser cero).

Su matriz es el caso de $3\times 3$ de la matriz de Vandermonde, cuyo determinante es generalmente un producto similar de diferencias.