Idempotentes, aniquiladores y módulos proyectivos

Question

Deje $Ra$ ser la izquierda ideal de un anillo de $R$ generado por un elemento $a \in R$.

Mostrar que $Ra$ es un proyectiva a la izquierda $R$-módulo si y sólo si la izquierda aniquilador de $a$, $\{r \in R \mid ra = 0\}$ es de la forma $Re$ por algún elemento idempotente $e \in R$.

Nota: sé que para un idempotente e, $Re$ es un proyectiva izquierda R-módulo, ya que $R \cong Re \bigoplus R(1-e)$ muestra que $Re$ es un sumando directo de un módulo. Parece que este hecho puede ser útil aquí, pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Sugerencias:

Por un lado, tiene una secuencia exacta

$$ 0\a\ell(a)\R\Ra\a 0 $$

donde $\ell(a)$ es la izquierda aniquilador de $a$, la primera asignación es la inclusión de mapas, y el último mapa, el más evidente es el mapa de proyección. Si $Ra$ es proyectiva, esta secuencia se divide. El uso de esta a la conclusión de que la $\ell(a)$ es un sumando de a $R$ y tiene la forma $Re$.

Por otro lado, supongamos que $\ell(a)\oplus C=R$. $C$, ser un sumando de la libre módulo de $R$, es claramente proyectiva. Todavía podemos mirar el surjection $r\mapsto ra$. Buscando en el núcleo de este mapa, podemos ver que $(x+c)a=0$ si y sólo si $ca=0$ fib $c\in \ell(a)$ fib $c=0$. El uso de esta a la conclusión de $C\cong Ra$.