¿Es posible probar el hecho siguiente sin axioma de la opción?
"Cada conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable. ¿Puede ser demostrado eso axioma de la opción es necesario aquí?
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¿Demasiados anuncios?
DanV
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En primer lugar vamos a aclarar las definiciones, ya que puede haber algo de confusión acerca de ellos.
Decimos que un conjunto a $A$ es finito, si no es un número natural $n$ y un bijection entre el$A$$\{0,\ldots,n-1\}$. Si $A$ no es finito, se dice que es infinito.
Decimos que un conjunto a $A$ es Dedekind-finito, si siempre $f\colon A\to A$ es una función inyectiva, entonces $f$ es un bijection. Si $A$ no es Dedekind-finito, podemos decir que es Dedekind-infinito.
¿Qué podemos decir de inmediato?
- Cada conjunto finito es Dedekind-finito, y cada una de Dedekind-infinito conjunto es infinito.
- $A$ es Dedekind-infinito si y sólo si tiene un countably subconjunto infinito si y solo si hay una inyección de $\Bbb N$ a $A$.
- Equivalentemente, $A$ es Dedekind-finito si y sólo si no tiene countably subconjunto infinito si y sólo si no hay inyección de $\Bbb N$ a $A$.
Mientras que en algunos de bajo nivel de los cursos de las definiciones que se pueden dar como sinónimos, la equivalencia entre lo finito y Dedekind-finito (o infinito y Dedekind-infinito) requiere la presencia de contables de elección en algún grado. Esto fue demostrado originalmente por Fraenkel en el contexto de $\sf ZFA$ (donde nos permite a los no-conjunto de objetos en nuestro universo), y más tarde la prueba fue imitado por Cohen en el contexto de forzar y simétrica extensiones para la producción de un modelo de $\sf ZF$ sin átomos donde esta equivalencia se produce un error.
Curiosamente, Dedekind-finitud pueden ser clasificados en diversos niveles de la finitud, por lo que algunos juegos son mas finitos que otros. Por ejemplo, es posible que un Dedekind-conjunto finito de asignarse a $\Bbb N$, lo que de alguna manera hace que sea "menos" finita de conjuntos que no pueden ser mapeadas a $\Bbb N$.
Esto no puede demostrarse sin el axioma de elección. Un conjunto con ningún subconjunto infinito numerable es llamado un conjunto Dedekind-finito. Una caracterización equivalente es que el conjunto no está en correspondencia con cualquier subconjunto apropiado de sí mismo. Esta condición es equivalente a finito en ZFC pero no en ZF. (Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind-infinite_set y las referencias allí para obtener más información.)
DiGi
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1925
Sí, se necesita una parte del axioma de elección. En la ausencia del axioma de elección es consistente hay que ser un conjunto Dedekind finito infinito, y tan no admite ninguna inyección de $\Bbb N$.
Jing Zhang
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Si la definición de un conjunto $A$ siendo infinito es $\exists f: \omega \to A$ inyectiva, entonces en cualquier modelo de ZF usted puede encontrar un countably infinito subconjunto de $A$, teniendo el rango de $f$ cuya existencia se sigue de reemplazo.
Sin embargo, si la definición es $A$ no es finita, es decir, no existe ningún bijection de $A$ cualquier $n\in \omega$, entonces la declaración de no seguir a partir de ZF. De hecho, en el modelo obtenido por contigua $\omega$ muchos Cohen reales (el forzamiento de la poset es $Fn(\omega\times\omega, 2)$ finito de funciones encomendadas por la inclusión), a continuación, en su simétrica submodel $(HOD[G\cup \{G\}])^{M[G]}$, es decir, la clase de hereditariamente ordinal definibles elementos de $G\cup \{G\}$ en M[G] (que es un modelo de ZF), existe un conjunto que no tiene countably subconjunto infinito en el modelo de $(HOD[G\cup \{G\}])^{M[G]}$, es decir, el conjunto de Cohen reales $\{C_i: i\in \omega\}$ donde $C_i(j)=G(i,j) \forall i,j\in\omega$. La razón es que realmente estos Cohen reales pueden fácilmente ser permutada finito dado información (también conocido como el forzamiento es débilmente homogéneo). Puede referirse a Jech del libro sobre la teoría de conjuntos para obtener más detalles (no debería ser un capítulo sobre simétrica submodos).
pete
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1
En términos muy cortos (que es ya abrumado por buenas respuestas de expertos):
$$\omega\leq_{1}A\implies\neg A<_{1}\omega$ $ O en palabras: $$A\text{ is Dedekind-infinite}\implies A\text{ is infinite}$ $
Pero de lo contrario necesita una forma debilitada de la CA.
El axioma de que cada contable tiene una función de elección (denotada como CC) va a hacer.
Este axioma implica que: $$A\leq_{1}\omega\vee\omega\leq_{1}A$ $
