¿Cómo es un infinitesimal $dx$ diferente de $\Delta x\,$ ?

Question

Cuando aprendí calcografía, siempre me enseñaron $$\frac{df}{dx}= f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$$ Pero he oído $dx$ se llama infinitesimal y no sé qué significa esto. En particular, deduzco que la validez de tratar un cociente de diferenciales es un tema sutil y no estoy seguro de entenderlo. ¿Puede alguien explicar la diferencia entre $dx$ y $\Delta x$ ?

EDITAR:

Aquí hay un hilo relacionado:

Es $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ ¿no es una proporción?

Lo he leído y esto es lo que no entiendo:

Hay una forma de sortear las dificultades lógicas de los infinitesimales; se llama análisis no estándar. Es bastante difícil de explicar cómo se establece, pero se puede pensar en ello como la creación de dos clases de números reales: los que usted está familiarizado con, que satisfacen cosas como la propiedad de Arquímedes, la propiedad de Supremum, y así sucesivamente, y luego se agrega otra, clase separada de los números reales que incluye infinitesimales y un montón de otras cosas.

¿Puede alguien explicar qué son específicamente estas dos clases de números reales y en qué se diferencian?

Answer 1

En los días de análisis no estándar La idea de diferenciación se definió (informalmente) como la relación entre dos valores infinitesimales.

El sistema de números reales (a menudo denotado como $\mathbb{R}$ ) puede definirse en términos de un campo . Es un campo con propiedades como pedido total (básicamente significa que cada elemento en él tiene un orden), Propiedad arquimediana (que establece que cada dos elementos están dentro de un múltiplo entero entre sí). $\mathbb{R}$ Sin embargo, puede ampliarse. Un ejemplo es permitir la existencia de un número imaginario, $\sqrt{-1}$ , en cuyo caso tendrías números complejos (y eso también es un campo).

Ampliar $\mathbb{R}$ introduciendo el elemento infinitesimal a ella le haría perder la propiedad de Arquímedes.

Así que cuando Arturo Magidin habló de "dos clases de números reales", básicamente se refiere a $\mathbb{R}$ y un campo ordenado que contiene todos los elementos de $\mathbb{R}$ y también infinitesimal , un "número" definido como mayor que 0 pero menor que cualquier fracción de unidad entera.

Answer 2

El término "infinitesimal" fue utilizado por Leibniz. Esto fue en una época anterior al concepto de límites, tal como lo conocemos hoy. Todavía pensaba en $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ como un cociente con $\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}x$ siendo muy pequeño.

Hoy $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ no es un cociente, sino que es una notación para el límite después de aplicar el límite, es decir, el conjunto es una notación para la derivada.

Otra forma de ver su fórmula es

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

La notación actual puede ser muy engañosa