¿Cómo encontrar el centro de masa de medio toro?

Question

Consideremos un toro sólido dividido por la mitad (medio donut). Los radios del toro son $R_1$ y $R_2$ . Necesito encontrar su centro de masa. La pista que dan es que el centro de masa de un objeto sólido homogéneo $\Omega \subset \Bbb R^3$ se calcula como $$\overline{x}=\int_{\Omega}\overline{r}d\overline{r}.$$

Realmente no entiendo esta fórmula, no sé qué $\overline{r}$ significa y qué es $\Omega$ en este caso. Agradecería que alguien explicara qué significa esta fórmula y cómo aplicarla en este problema. Gracias de antemano.

Answer 1

Me pareció más fácil utilizar coordenadas cilíndricas para establecer las integrales necesarias para el centro de masa. Sin embargo, antes de hacerlo, configuro mi sistema de coordenadas como sigue. Tengo coordenadas positivas $x$ saliendo de la pantalla, positivo $y$ yendo hacia la derecha, y positivo $z$ arriba. En coordenadas cilíndricas $(r,\phi,z)$ :

$$x = r \cos{\phi}$$ $$y=r \sin{\phi}$$

donde tenemos los límites que definen la región $\Omega$ :

$$\phi \in \left [ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]$$ $$z \in [-R_2,R_2]$$ $$r \in \left [ R_1 - \sqrt{R_2^2-z^2}, R_1 + \sqrt{R_2^2-z^2}\right]$$

Además, para un objeto de densidad de masa constante, la expresión para el $x$ componente del centro de masa es

$$\bar{x} = \frac{\displaystyle \int_{\Omega} d^3 \vec{x} \, x}{\displaystyle \int_{\Omega} d^3 \vec{x}}$$

(Nótese que, por simetría, tenemos $\bar{y}=0$ y $\bar{z}=0$ .) Evaluemos primero el denominador:

$$\begin{align} \int_{\Omega} d^3 \vec{x} &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi \, \int_{-R_2}^{R_2} dz \, \int_{R_1 - \sqrt{R_2^2-z^2}}^{R_1 + \sqrt{R_2^2-z^2}} dr \, r \\ &= \frac{\pi}{2}\int_{-R_2}^{R_2} dz \left [\left (R_1 + \sqrt{R_2^2-z^2} \right )^2 - \left (R_1 - \sqrt{R_2^2-z^2} \right )^2 \right ]\\ &= 4 \pi R_1 \int_0^{R_2} dz \, \sqrt{R_2^2-z^2}\\ &= \pi^2 R_1 R_2^2 \end{align}$$

Ahora evaluamos el centro de masa:

$$\begin{align}\bar{x} &= \frac{1}{\pi^2 R_1 R_2^2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi \, \int_{-R_2}^{R_2} dz \, \int_{R_1 - \sqrt{R_2^2-z^2}}^{R_1 + \sqrt{R_2^2-z^2}} dr \, r^2 \cos{\phi} \\ &= \frac{4}{3 \pi^2 R_1 R_2^2} \int_0^{R_2} dz \, \left [\left (R_1 + \sqrt{R_2^2-z^2} \right )^3 - \left (R_1 - \sqrt{R_2^2-z^2} \right )^3 \right ]\\ &= \frac{8}{3 \pi^2 R_1 R_2^2} \int_0^{R_2} dz \,\left [3 R_1^2 \sqrt{R_2^2-z^2} + \left (R_2^2-z^2 \right )^{3/2} \right ] \\ &= \frac{8}{3 \pi^2 R_1 R_2} \left ( \frac{3 \pi}{4} R_1^2 R_2 + \frac{3 \pi}{16} R_2^3 \right )\end{align}$$

Simplificando, obtengo

$$\bar{x} = \frac{4 R_1^2+R_2^2}{2 \pi R_1}$$

ADDENDUM

Como nota rápida, en los límites como $R_2 \to 0$ encontramos que el centro de masa se convierte en

$$\bar{x}=\frac{2}{\pi} R_1$$

que coincide con el centro de masa de un alambre uniforme doblado en semicírculo.