Demostrar que existe una secuencia de funciones continuas $f_n(x)$ tal que $f_n \rightarrow f$ pointwise en este intervalo.

Question

Suponga que la función real-valued $f(x)$ es nondecreasing en el intervalo $[0,1]$. Demostrar que existe una secuencia de funciones continuas $f_n(x)$ tal que $f_n \rightarrow f$ pointwise en este intervalo.

He estado considerando problema por un tiempo. Los principales resultados que conozco son todo sobre convergencia casi por todas partes. Quiero construir $f_n$ pero no sé dónde empezar.

Answer 1

dado que la función es creciente, sólo hay un número finito de saltos de más grande que el tamaño de la $1/n$ . Así que me gustaría definir una aproximación de la función con este hecho.

fix $n$. eliminar todos los saltos de tamaño de menos de $1/n.$ ahora Tenemos una función cts, excepto en un número finito de puntos. La función crecer linealmente desde la izquierda límites al derecho de limitar en un intervalo de tamaño de $1/n^2$ en cada uno de estos y mantener continuamente en otros lugares.

Algo así debería converger a lo que usted desea.

OK hay todavía mucho trabajo por hacer, pero es un lugar para empezar.

Answer 2

El problema es bastante fácil si $f(x)$ es también limitada: Deja $$f_n(x) = f\left( 2^{n} \left\lfloor 2^n x \right\rfloor \right) +\left( x - 2^{n} \left\lfloor 2^n x \right\rfloor \right) f\left( 2^{n} \left\lfloor 2^n x \right\rfloor +2^{n}\right) $$ Puede uno imaginarse a cada una de las $f_n$ como una función continua que es lineal en cada una de las $2^n$ divisiones de la unidad de intervalo, y coincide con la $(f(x)$ en los extremos de cada división; es lo que las ilustraciones de la regla trapezoidal aspecto.

Desde $f(x)$ es acotado, sin intervalo contiene un cambio de más de $M \equiv f(1)-f(0)$, por lo que $$|f_n(x) - f(x)| \leq 2^{-n} M$$ which makes it easy to explicitly find an $N(\epsilon)$ for any given $\epsilon$ such that $$n \geq N \implies |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$ es decir, la secuencia de $\{f_n\} \to f$ pointwise.

Si el intervalo especificado estaban abiertos, por ejemplo, $(0,1)$, pero la restricción de que el $f(x)$ está delimitada es eliminado, el mismo tipo constructivo de la prueba se aplica. Aquí, el $f_n(x)$ sólo se definen como el anterior en $[2^{-n},1-2^{-n}]$ y fuera de ese intervalo, podemos dejar $f_n(x)$ $f_n(2^{-n})$ a la izquierda y $f_n(1-2^{-n})$ a la derecha. Pero el pointwise enfoque de $f_n$ $f$aún se mantiene, ya que para cualquier punto dado $x\in (0,1)$ le puede imponer una condición adicional en $N(\epsilon)$, de modo que $n$ debe ser lo suficientemente grande que $x$ está en la región "buena" para $f_n$.

Las anteriores obras de construcción, por ejemplo, en la muy desagradable función de $f(x) = -\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor$

Nos quedamos con el caso de una desenfrenada no decreciente de la función en $[0,1]$, y, por supuesto, que no existe en el estándar de análisis real.