Relación de recurrencia: composición de una función polinómica

Question

Dejemos que $f(x)=a+bx^2$ . Definir $f_n(x)$ para ser el $n$ -composición doble de $f$ . Es decir $$f_1(x)=f(x)$$ $$f_2(x)=f \circ f(x)$$ $$f_n(x)=f \circ f_{n-1}(x), n \ge 2$$

¿Hay alguna manera de encontrar una fórmula para $f_n$ ?

Intenté escribir $f_2$ , $f_3,\ldots$ pero no veo ningún patrón.

Answer 1

Después de un simple cambio de variables, estará iterando $z^2+c$ para algunos $c$ . Allí es una fórmula sencilla para el $n$ iterar cuando $c=0$ o $c=-2$ . Pero no de otra manera.

añadido

Fórmula de doble ángulo: $\cos 2\theta = 2\cos^2-1$ por lo que si escribimos $z=2\cos\theta$ , entonces obtenemos $f_1 = z^2-2 = 2\cos 2\theta$ ; $f_2 = (z^2-2)^2-2 = 2\cos 4\theta$ ; y así sucesivamente... $f_n = 2\cos(2^n\theta)$ . Si quieres, pon $\theta = \arccos(z/2)$ en estos.

Answer 2

No creo que haya una fórmula "bonita" para $f_n$ o incluso un patrón. Este es mi razonamiento:

Si el gráfico de $y = a + bx^2$ se cruza con la línea $y=x$ entonces puede haber un comportamiento caótico en los valores $f_n(x)$ en general $x$ . Véase la bonita animación en el artículo de la Wiki sobre la "trama de telarañas":

http://en.wikipedia.org/wiki/Cobweb_plot

Espero que esto ayude.