Aproximación de$\sum_{x \le k} \frac{\log(x)}{x}$

Question

Publicado originalmente como un no-las tareas que se trate. Nuevo en el sitio, y no sabía que pedir para la tarea de asesoramiento O. K. de todos Modos, aquí es lo que está pasando:

Estoy tratando de mostrar que existe una constante $B$ tal que

$$ \sum_{x \le k} \frac{\log(x)}{x} = \frac{1}{2}\log^2(k) + B + O\left(\frac{\log(k)}{k}\right) $$

Estoy intentando a través de la suma parcial de establecer esto. Creo que algunas de mis problemas reside en la comprensión de la pregunta. Si estamos usando el $O$ notación para acotar un término de error, y si sólo tenemos que mostrar que existe una constante $B$ tal que la tiene, ¿por qué no $B$ se absorbe en el término de error?

Answer 1

La fórmula de suma de Euler-Maclaurin da esto inmediatamente porque $$ \ int \ frac {\ log (x)} {x} \, \ mathrm {d} x = \ frac12 \ log (x) ^ 2 C $$ La constante $B$ domina el término de error$O\left(\frac{\log(x)}{x}\right)$, por lo que es independiente.