Un problema sobre el límite de una integral

Question

Deje que$ g(x) $ sea una función periódica continua del período 1 en$\mathbb{R}$. Demuestre que para cualquier función integrable$f(x)$ en$[0,1]$,
ps

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Comienza con una transformación$u=nx.$

ps

Divida el integrando en una suma de intervalos.

ps

Realice otra transformación de variable:$$\int_{0}^1 f(x)g(nx)dx = \frac{1}{n} \int_{0}^n f(u/n)g(u)du.$ Porque$$ \frac{1}{n} \int_{0}^n f(u/n)g(u)du=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n\int_{j-1}^{j} f(u/n)g(u)du.$ es 1 periódico$v=u-(j-1).$

ps

Reorganizar los términos. ps

Ahora hemos producido una suma de Riemann que converge a una integral en el límite. Ahora estamos autorizados, por teorema de convergencia dominado, a decir

$$ \begin{align*} \lim_{n\to \infty} \int_{0}^1 f(x)g(nx)dx &= \int_{0}^1 \left(\int_{0}^1 f(z)dz\right) g(u)du \\ &=\int_{0}^1 f(z)dz\int_{0}^1 g(u)du=\int_{0}^1 f(x)dx\int_{0}^1 g(x)dx . \end {align *} $$

Answer 2

esto no es una buena prueba, solo una idea. Primero considere f como función simple, podemos calcular que esta identidad se mantiene. Luego, por la definición de integración de Lebesgue, podemos aproximar f mediante funciones simples. Debido a que g es continuo (acotado), entonces no hay problema para que converja el lado izquierdo.