¿Cuántas matrices pueden conmutar con una matriz dada?

Question

Estoy tratando de aprender álgebra lineal y abstracta por mi cuenta y he estado intentando ejercicios de libros de texto y conjuntos de problemas que encuentro en línea. Hasta ahora me ha ido bien, pero encontré este problema y estoy teniendo muchos problemas con él:

Sea $A$ una matriz compleja $n \times n$.

a) Demuestra que el conjunto de matrices que conmutan con $A$ es un subespacio.

b) ¿Cuál es la dimensión de este subespacio?

Creo que entendí la primera parte. No fue tan malo. Pero estoy teniendo problemas con la segunda parte. Siento que esta debería ser una pregunta fácil, pero simplemente no sé cómo empezar.

Estaba pensando en usar de alguna forma la forma de Jordan. Si $A$ ~ $J_A$ y $B$ ~ $J_B$, ¿es cierto que si $J_A J_B = J_B J_A$ entonces $AB = BA$? Si es así, solo tendríamos que ver los bloques de Jordan de estos y ver cuando conmutan entre sí. Entonces el problema no sería tan malo, creo.

Me encantaría recibir algunas pistas.

Answer 1

Como Travis menciona, puedes asumir sin pérdida de generalidad que $A$ está en forma de Jordan. El caso más simple es que $A$ sea diagonal, digamos con elementos $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ en la diagonal. Sea $B = (b_{ij})$ una matriz. Entonces $B$ conmuta con $A$ si para todo $i,j$, $\lambda_i b_{ij} = \lambda_j b_{ij}$, como muestra un cálculo simple. Es instructivo escribir esto como $(\lambda_i - \lambda_j) b_{ij} = 0$, lo que implica que o bien $\lambda_i = \lambda_j$ o $b_{ij} = 0.

Supongamos ahora que los eigenvalores son distintos $\mu_1,\ldots,\mu_m$, y que $\mu_k$ ocupa las posiciones en $I_k \subseteq \{1,\ldots,n\}$. Si $i,j \in I_k$ entonces la condición anterior $(\mu_k - \mu_k) b_{ij} = 0$ siempre se cumple, mientras que si $i \in I_k$ y $j \in I_\ell$ para $j \neq k$ entonces la condición $(\mu_k - \mu_\ell) b_{ij} = 0$ implica que $b_{ij} = 0$. Como consecuencia, deducimos que la dimensión es exactamente $\sum_{k=1}^m |I_k|^2$.

Te dejo el caso más general.

Answer 2

Recopilé varias condiciones equivalentes en Dada una matriz, ¿siempre hay otra matriz que conmute con ella?

en relación al siguiente tema, esta es probablemente la forma más simple de expresarlo. Cada matriz cuadrada tiene un polinomio característico y un polinomio minimal.

A continuación, dado una matriz $A$, sabemos que $A$ conmuta con $I, A, A^2, A^3,$ de hecho $A$ conmuta con cualquier polinomio en $A.$ Por el teorema de Cayley-Hamilton, tal polinomio siempre se puede reescribir como $$ a_0I + a_1 A + a_2 A^2 + \cdots + a_{n-1} A^{n-1} $$

TEOREMA: si los polinomios característico y minimal de $A$ son iguales, entonces cualquier matriz que conmute con $A$ se puede escribir como un polinomio en $A.$ El conjunto de estos tiene dimensión $n.$

Si el polinomio minimal es diferente al polinomio característico, la dimensión aumenta, porque todos los polinomios en $A$ aún conmutan con $A,$ pero ahora hay más. Ya se mencionó que cuando $A=I,$ todo conmuta con él, por lo que la dimensión es grande, $n^2.$ Aquí hay un caso intermedio que debes hacer manualmente: ¿qué matrices conmutan con $$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) ? $$

Lo que quiero decir con hacerlo manualmente es escribir $AB$ y $BA,$ con $$ B = \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right) $$ y encontrar todas las condiciones necesarias sobre las nueve variables $a,b,c,d,e,f,g,h,i.$ Estas serán ecuaciones lineales, en general un sistema lineal.