Demostrando que hay un cuadrado perfecto entre$n$ y$2n$

Question

Problema: Demuestra que hay al menos un cuadrado perfecto en la secuencia$n, n+1,\ldots, 2n$.

Sé que esto es de hecho muy fácil, pero parece que no pongo mi dedo en la ecuación correcta para eso. Implica algo como$2(n+1)^2 <(2n)^2$ o similar.

Answer 1

Para todos$n$$$ n \leq \lceil \sqrt{n} \rceil^2 \leq 2n.$ $

Una desigualdad es trivial, y la otra requiere un poco de trabajo.

EDITAR:

Usando el límite trivial$\lceil \sqrt{n} \rceil \leq \sqrt{n}+1$ obtenemos

ps

y deseamos que sea menor o igual a$$\lceil \sqrt{n} \rceil^2 \leq n+2\sqrt{n}+1 $. En otras palabras, si$2n$ somos buenos. Sustituyendo$2 \sqrt{n}+1 \leq n$ se obtiene la desigualdad cuadrática$\sqrt{n}:=x$, que se aplica a$x^2-2x-1 \geq 0$. Por lo tanto, el único caso con el que nos quedamos es$x \geq 1/2+\sqrt{3}/2$, lo que obviamente es válido también.

Answer 2

Suponga que$n\gt x^2$ y$(x+1)^2\gt 2n$ para que no haya un cuadrado entre$n$ y$2n$, luego$$(x+1)^2\gt 2n\gt2x^2$$ Because you are dealing with integers and the inequalities are strict you get $$(x+1)^2\ge 2x^2+2$% # ps

El único valor para el que esto es posible es$ which simplifies to $, pero puede eliminarlo con suficiente facilidad.

Nota: Puede usar$0\ge x^2-2x+1=(x-1)^2$ con más cuidado, ya que un paso implica duplicar una desigualdad estricta entre enteros, y luego la conclusión es inmediata.

Answer 3

Para$x\geq 6$, siempre hay un entero en el intervalo $$ [\ sqrt x, \ sqrt {2x}] $$ que no es difícil de probar considerando la longitud del intervalo.

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Tenga en cuenta que la longitud de intervalo$f(x)=\sqrt{2x}-\sqrt x=\sqrt x(\sqrt 2-1)$ está estrictamente creciendo y $$ f (x) = 1 \ iff \ sqrt x = \ sqrt 2 1 $$ así que para$x\geq (\sqrt 2+1)^2=3+2\sqrt 2\approx 5.82$ el intervalo es mayor que$1$.

Answer 4

El mejor cuadrado posible menor que$n$ es$\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor^2$, entonces debemos examinar si$\left(\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor+1\right)^2$ satisface,$$n\le \left(\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor+1\right)^2\le 2n$ $

Demostrando que$n\le \left(\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor+1\right)^2$ es trivial. y entonces tenemos que mostrar que$\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor+1\le\left\lfloor\sqrt{2n}\right\rfloor$. Esto también es trivial ya que,$$\sqrt{2n}-1\le \left\lfloor\sqrt{2n}\right\rfloor$$and, $$\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor\le \sqrt{n}+1$$ Therefore $$\left\lfloor\sqrt{2n}\right\rfloor-\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor\ge \sqrt{n}\left(\sqrt{n}-1\right)-2$ $ De lo cual, espero que puedas manejar el resto.

Answer 5

Otra solución más:

En primer lugar, verifique que la declaración sea verdadera para todos$n \leq 9$. Luego, muestre por inducción que$2k+1 \leq k^2$ para todos$k\geq 3$.

Ahora suponga$n > 9$. Sea$k$ el mayor número con$k^2 < n$. Entonces, $k\geq 3$. En conjunto, obtenemos$$n \leq (k+1)^2=k^2+2k+1 \leq 2k^2 < 2n$ $ Entonces,$(k+1)^2$ se encuentra entre$n$ y$2n$.