¿Cómo salen las ecuaciones de campo de Einstein de la teoría de cuerdas?

Question

La teoría clásica de la geometría del espaciotiempo que llamamos gravedad está descrita en su núcleo por las ecuaciones de campo de Einstein, que relacionan la curvatura del espaciotiempo con la distribución de la materia y la energía en el espaciotiempo.

Por ejemplo: $ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ es un concepto importante en la Relatividad General.

Matemáticamente, ¿cómo se Las ecuaciones de Einstein ¿se desprende de la teoría de las cuerdas?

Answer 1

(ver también: La relatividad general desde el punto de vista de la teoría de cuerdas )

$\mbox ds^2=g_{\mu\nu}\mbox dx^{\mu}\mbox dx^{\nu}$ es un hecho definitorio de la geometría de Riemann, y no tiene nada que ver con la gravedad. La "física" de la relatividad general está contenida en las ecuaciones de campo de Einstein $G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}$ o, de forma equivalente, la acción de Einstein-Hilbert $\mathcal{L}=\frac1{16\pi}R$ .

Derivar estos resultados a partir de la acción de Polyakov es difícil, pero hay un enfoque estándar más sencillo que se encuentra en muchos libros de texto. En la teoría de cuerdas, el Dilatón se acopla a la hoja del mundo

$$S_\Phi = \frac1{4\pi} \int d^2 \sigma \sqrt{-h} R \Phi(X)$$

La ruptura de la simetría conformacional en esta acción se puede resumir en 3 funciones conocidas como funciones beta. En la teoría de cuerdas Tipo IIB, las funciones beta son:

$${\beta _{\mu \nu }}\left( g \right) = \ell _P^2\left( {{R_{\mu \nu }} + 2{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi - {H_{\mu \lambda \kappa }}H_\nu {}^{\lambda \kappa }} \right)$$

$$ {\beta _{\mu \nu }}\left( F \right) = \frac{{\ell _P^2}}{2}{\nabla ^\lambda }{H_{\lambda \mu \nu }} $$

$$ \beta \left( \Phi \right) = \ell _P^2\left( { - \frac{1}{2}{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi + {\nabla _\mu }\Phi {\nabla ^\mu }\Phi - \frac{1}{{24}}{H_{\mu \nu \lambda }}{H^{\mu \nu \lambda }}} \right) $$

Poniendo estas funciones a cero (es decir, exigiendo la simetría conformacional, esperando obtener las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío):

$${{R_{\mu \nu }} + 2{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi - {H_{\mu \nu \lambda \kappa }}H_\nu ^{\lambda \kappa }} = 0. $$

$${\nabla ^\lambda }{H_{\lambda \mu \nu }} = 0 . $$

$$ { - \frac{1}{2}{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi + {\nabla _\mu }\Phi {\nabla ^\mu }\Phi - \frac{1}{{24}}{H_{\mu \nu \lambda }}{H^{\mu \nu \lambda }}} = 0 . $$

La primera de estas ecuaciones es una forma corregida de la EFE del vacío, y las restantes ecuaciones representan ecuaciones análogas para otros campos.