Pregunta sobre girar gavillas: Twisting por dos puntos en$\mathbb{P}^1$ y puntos base de$\mathscr{O}(-1)$

Question

Yo estaba tratando de hacer algunos cálculos para familiarizarse con la torsión poleas y me encontré con algunas preguntas. Les agradecería mucho la ayuda! Gracias de antemano!

1. Para la línea de paquetes, siendo a nivel mundial generado es el mismo como punto de base libre. El paquete de $\mathscr{O}(-1)$ $\mathbb{P}^n$ no tiene ningún global de las secciones que significa que debe haber un punto de base. Pero no estoy seguro de cómo ir sobre la búsqueda de este punto de base. No son las secciones de $\mathscr{O}(-1)$ grado -1 homogéneos de $\mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}$? Si es así, en cada una de las $U_{x_i}$, las secciones son elementos de la forma $\frac{f}{x_i^n}$ donde $f$ es un grado $n-1$ homogéneo elemento de $k[x_0,\dots,x_n]$. En este caso, no veo por qué no todas las secciones de $\mathscr{O}(-1)$ debe desaparecer en el mismo punto. (Y lo que significa ser un punto de base de una línea de paquete que no tiene ningún global de las secciones? En Vakil notas, un punto de base se define como donde todas las secciones se desvanecen. Para encontrar un punto de base, no es suficiente para comprobar que todo el mundial secciones desaparecen?)

2. Me gustaría calcular el mundial secciones de $\mathscr{O}(p+q)$ donde $p=[0,1],q=[1,0]\in \mathbb{P}^1$ donde $\mathbb{P}^1=$Proj$k[x,y]$. Podemos describir a $p+q$ como el divisor de Cartier $(U_x,y),(U_y,x)$ (estoy usando Hartshorne la definición de un divisor de Cartier). A continuación, las secciones de la línea bundle $\mathscr{O}(p+q)$:$U_x$, los elementos de la forma $\frac{1}{y}\frac{f}{x^n}$ donde $f\in k[x,y]$ es homogénea de grado $n$;$U_y$, los elementos de la forma $\frac{1}{x}\frac{f}{y^n}$ donde $f\in k[x,y]$ es homogénea de grado $n$. Luego, global secciones se $g\in k[x,y]$ tal que $g=\frac{1}{x}\frac{f_1}{y^n}=\frac{1}{y}\frac{f_2}{x^n}$ algunos $f_1,f_2\in k[x,y]$ grado $n$. Esto implica que las secciones deben ser de la forma $\frac{ax+by}{xy}$ que nos dice que $h^0(\mathbb{P}^1,\mathscr{O}(p+q))=2$. Estoy un poco confundido porque pensé que por el grado recuento$\mathscr{O}(p+q)\cong \mathscr{O}(2)$, por lo que debe tener de 3 dimensiones globales de las secciones.

3. Del mismo modo traté de calcular $\mathscr{O}(p)$ donde $p=[1,0]$ describiendo $p$ como el divisor de Cartier $(U_x,y),(U_y,y)$. Esto sólo me dio el trivial de la línea de paquete. Creo que la manera en que yo estoy describiendo/correspondiente divisores de Cartier divisores podría ser incorrecta, pero no he sido capaz de averiguar cómo.

Answer 1

1. "Todos los sectores" significa todos los mundiales de secciones. La única sección global de $\mathscr O(-1)$ es la trivial $0$, y se desvanece en todos los de $\mathbb P^n$.
2. El Cartier divisor debe ser $\{(U_x,y/x), (U_y,x/y)\}$. En este caso, una sección global sería localmente como $\dfrac{x}{y}\dfrac{f_1}{x^m}$ $U_x$ o $\dfrac{y}{x}\dfrac{f_2}{y^n}$$U_y$. Observe que en la intersección de las $U_x\cap U_y$ obtenemos $\dfrac{f_1}{x^m} = \left(\dfrac{y}{x}\right)^2\dfrac{f_2}{y^n}$, que es exactamente cómo podríamos calcular una sección global a través de la transición de la función de $(\dfrac{y}{x})^2$$\mathscr O(2)\cong\mathscr O(p+q)$.
3. De nuevo, el divisor de Cartier debe ser modificada. Desea $\{(U_x,y/x),(U_y,1)\}$. La coordenada en $U_x\cong\mathbb A^1$$y/x$, no $y$.