Cómo probar esta desigualdad $\frac{2}{(a+b)(4-ab)}+\frac{2}{(b+c)(4-bc)}+\frac{2}{(a+c)(4-ac)}\ge 1$

Question

que $a,b,c>0$ y el tal $a+b+c=3$,

Mostrar que %#% $ #%

Creo que este uso de la desigualdad esta %#% $ #%

Answer 1

           

Paso 1. Transformación.
Las tres dimensiones del problema puede ser re-formulado como dos dimensiones del problema mediante la introducción, como aquí, exactamente las mismas coordenadas del triángulo: $$ \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} -3 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right] x + \left[ \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right] y $$ A continuación, la desigualdad de $\;\frac{2}{(a+b)(4-ab)}+\frac{2}{(b+c)(4-bc)}+\frac{2}{(a+c)(4-ac)}\ge 1\;$ no mucho "simplificar", pero de todos modos se convierte en una desigualdad en las dos variables. Y la ecuación de $\;a + b + c = 3\;$ se corresponde con una normativa 2-D triángulo con vértices $(0,0),(1,0),(0,1)$ .

Paso 2. La visualización.
El interior y exterior de ambos pueden ser fácilmente visualizados, como se ha hecho en la imagen de arriba a la derecha (visto en el plano del triángulo, con una transformación rectangular $(x,y) \rightarrow$ equilátero) :
$\color{red}{red}$ los bordes de $\;a + b + c = 3\;$ $\color{green}{green}$ $\;\frac{2}{(a+b)(4-ab)}+\frac{2}{(b+c)(4-bc)}+\frac{2}{(a+c)(4-ac)} < 1\;$ y simplemente blanco para $\;\frac{2}{(a+b)(4-ab)}+\frac{2}{(b+c)(4-bc)}+\frac{2}{(a+c)(4-ac)} > 1\;$ . (Con una función suave - este no es el caso - las isolíneas sería mucho "más limpio".)
Se observa en el mismo cuadro que los vértices del triángulo que bien podría haber sido puesto en la curva de $\frac{2}{(a+b)(4-ab)}+\frac{2}{(b+c)(4-bc)}+\frac{2}{(a+c)(4-ac)} = 1$ . Sin embargo, esto requeriría que $x=0$ y/o $y=0$ , que es excluido por $\;b=3x,c=3y$$> 0$ . Para el resto el triángulo que se ve en la parte exterior de la curva , es decir, en el área blanca, estableciendo así, a primera vista, la desigualdad.

Paso 3. Los bordes del triángulo.
Debido a los denominadores, que puede ser cero, singularidades - $\color{blue}{blue}$ líneas en el centro de la imagen - son un problema con este problema. Se ve que los vértices del triángulo se encuentran en singular puntos. Sin el requisito adicional de $a,b,c > 0$ que habría sido problemático.
De hecho. Definir la función: $$ f(a,b,c) = \frac{2}{(a+b)(4-ab)}+\frac{2} {b+c)(4-bc)}+\frac{2}{(a+c)(4-ac)} $$ Y para especificar las coordenadas del triángulo a lo largo de uno de los bordes, decir $c=3y=0$ , entonces: $$ f(a=3-3x,b=3x,c=0) = \frac{2}{3[4-9(1-x), x]} + \frac{2}{12} + \frac{2}{12(1-x)} \\ = \frac{2/27}{(x-1/2)^2+7/36} + \frac{1/6}{1/4-(x-1/2)^2} $$ Como era de esperar, las singularidades se encuentran, por $x=0,1$ . El mínimo valor de la función a lo largo de un triángulo borde es igual a $22/21 > 1$ y se encuentra por $x=1/2$ . Para estar seguro, por la diferenciación podemos encontrar: $$ f'(x) = -\frac{2(2x-1)}{27\left[(x-1/2)^2+7/36\right)^2} + \frac{2x-1}{6\left[1/4-(x-1/2)^2\right)^2} = 0 $$ A partir de la cual es inmediatamente claro que $x=1/2\;$ es una solución. Y en el barrio $x\approx 1/2$ : $f'(x) \approx (-2/27(36/7)^2+4^2/6)(2x-1) = 104/147(2x-1)$ que es$< 0$$x < 1/2$$> 0$$x > 1/2$ , por lo tanto, un mínimo.

Paso 4. Triángulo interior.
No hay un montón de puntos en el interior del triángulo donde $f(a,b,c) = 1$, porque de lo contrario nos habría visto como píxeles verdes. Pero el hecho de que que no se ve, no es una prueba de que no existen. Así que todavía tenemos que establecer, analíticamente, que $f(a,b,c)$ no asume los valores más pequeños de $1$ dentro del triángulo.
La suerte está en nuestro camino. En uno de los comentarios que acompañan a la pregunta ¿Por qué el Grupo de Teoría de no venir aquí? una clave de referencia se menciona:

• Hacer simétrica de los problemas tienen soluciones simétricas?

A partir de esta referencia, tenemos los siguientes
Teorema (El Purkiss Principio). Deje $f$ $g$ ser simétrica funciones continuas las segundas derivadas en la vecindad de un punto de $P = (r, \cdots, r)$. En el conjunto donde $g$ es igual a $g(P)$, la función de $f$ tendrá un máximo local o un mínimo en $P$ excepto en degenerados de los casos.
Esto es precisamente lo que necesitamos. Ya hemos definido la función $f(a,b,c)$ . Definir la función de $\;g(a,b,c) = a+b+c\;$. A continuación, $\;g(r,r,r) = 3r = 3\;$ por lo tanto el punto de $P$: $\;(a,b,c) = (1,1,1)\;$ $\;f(a,b,c) = 1\;$ (que en realidad es una sola "verde", en el baricentro del triángulo). Este valor de $f$ no puede ser un máximo, ya que hemos establecido la mayor $f$ - valores a lo largo de los bordes del triángulo , por ejemplo,$f(3/2,3/2,0) = 22/21$ . Por lo que debe ser un mínimo. Esto completa la prueba.

La actualización. Como una respuesta a los comentarios acerca de si tal vez podría existir un mínimo en un nivel inferior al $1$ , aquí viene un gráfico de contorno de $\;f(a,b,c)\;$ los valores en el plano del triángulo en los niveles de $\; 1 < (2^k*10+2)/(2^k*10+1) \quad , \quad k=0 , \cdots , 11$ .
Mostrando bastante "plana" de la función de comportamiento, a pesar de que definitivamente descendente hacia la mitad del triángulo : los perímetros de los contornos son, invariablemente, disminuyendo con el aumento de los valores de $\;k\;$.

Vamos a especificar $f(a,b,c)$ $y=x\;$ es decir $\;a=3(1-2x) , b=3x , c=3x$ . Esta es la línea amarilla en el gráfico de contorno de la izquierda. Entonces tenemos: $$ f(x) := f(3(1-2x),3x,3x) = \frac{4}{3(1-x)(4-9x+18x^2)}+\frac{1}{3x(4-9x^2)} $$ La gráfica de esta función se ve a la derecha. Como era de esperar, hay un positivo singularidad en $x=0$ . A continuación, la función disminuye de manera uniforme hasta que alcanza su mínimo $f(1/3)=1$ en el centro del triángulo. Después de que se sube un poco hasta que máximo local $f(1/2)=22/21$ en el medio de un borde. Que $f(1/3)=1$ es de hecho un mínimo puede ser verificado mediante el cálculo de $f'(1/3) = 0$ .

Answer 2

Aquí es una "fuerza bruta" de la prueba. Nos deja denotar su suma por $S$. Podemos supongamos, sin pérdida de ese $a$ es menor que el de $b$$c$ ; a continuación, $a\leq 1$. Pongamos $s=b+c=3-a,t=b-c$.

Lema Hay números de $M,a_0,a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ que puede ser escrito como polinomios en $a$, de tal manera que $b_1,b_2,b_3$ son todos no negativos, $M$ es positivo, $a_0=\frac{4M}{(6-s)(s^2-3s+8)},a_2=\frac{M}{2s(16-s^2)^2}$, y la identidad $M-(4-ab)(a+b)(a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3)=ct^2(b_1+b_2c+b_3c^2)$ mantiene.

El (feo) la prueba de este lema se aplazó hasta el final de esta respuesta. Notando que al $b$ $c$ son intercambiados, $t$ hace $-t$, y notar también la identidad de $(16-s^2)^2-4(4-bc)(16-s^2-(b-c)^2)=(b-c)^4$ (recordar que $s=b+c$), vemos que

$$ \begin{array}{lcl} \frac{1}{(a+b)(4-ab)} &\geq& \frac{a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3}{M} \\ \frac{1}{(a+c)(4-ac)} &\geq& \frac{a_0-a_1t+a_2t^2-a_3t^3}{M} \\ \frac{1}{(b+c)(4-bc)} &\geq& \frac{4}{s(16-s^2)}-\frac{4}{s(16-s^2)^2}t^2 \ \\ \end{array} $$

Sumando y multiplicando por $2$, vemos que

$$ S \geq \big(\frac{4a_0}{M}+\frac{8}{s(16-s^2)}\big)+ \big(\frac{4a_2}{M}-\frac{8}{s(16-s^2)^2}\big)t^2= \frac{8}{(6-s)(s^2-3s+8)}+\frac{8}{s(16-s^2)} $$

Entonces se nos hace notar que $s\in[2,3]$ y que el lado derecho de esta desigualdad puede escribirse como

$$ 1+\frac{4+(s-2)^2(2(3-s)+8)+(s-2)^3\big(\frac{3-s}{2}\big)}{s(6-s)(16-s^2)(s^2-3s+8)} $$

La igualdad se alcanza el fib $a=b=c=1$.

La prueba del lema Tomar

$$ \begin{array}{lcl} M &=& 3(((a-7)(a^2-9)(a+1))^2)(a^2-3a+4)((a^2-3a+8)^2) \\ a_1 &=& 24(((a-7)(a-3)(a+1))^2)(3a-4)(a^2-3a+4) \\ a_3 &=& (1-a)(a^8 - 14a^7 + 177a^6 - 1152a^5 + 3903a^4 - 1362a^3 - 10033a^2 + 5984a - 4416) \\ b_1 &=& (((1-a)^{10} + 26(1-a)^9 + 213(1-a)^8 + 1572(1-a)^7 + 7256(1-a)^6 + 18720(1-a)^5)a^2 + (19696(1-a)^5 + 91664(1-a)^4 + 58944(1-a)^3 + 23040(1-a)^2 + 6912(1-a))a + 6912(1-a)) \\ b_2 &=& 3a^{11} - 66a^{10} + 842a^9 - 7038a^8 + 36340a^7 - 100374a^6 + 89838a^5 + 134190a^4 - 316271a^3 + 249000a^2 - 107968a + 35328 \\ b_3 &=& a(1-a)( -2a^8 + 28a^7 - 354a^6 + 2304a^5 - 7806a^4 + 2724a^3 + 20066a^2 - 11968a + 8832) \\ \end{array} $$

Answer 3

Es posible demostrar un poco más débil obligado por reducir la dimensión del problema.

Para cualquier $K\in[0,3]$, definir: $$f_K(x)=\frac{2}{(3-x)(4-x(K-x))},\qquad g_K(x)=f_{K}(x)+f_{K}(K-x).$$ Diferenciando con respecto a $x$, tenemos que los mínimos de $g_K(x)$ $[0,3]$ se encuentra en $\frac{K}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{1+(3-K)^2}$, por lo que $$g_K(x) \geq g_K\left(\frac{K}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{1+(3-K)^2}\right)=\frac{8(6-K)}{(13-3K)^2}$$ cuenta con más de $[0,K]$. Tomando $x=b,K=b+c$, $a=3-K$ sigue y tenemos: $$\sum_{cyc}\frac{2}{(3-a)(4-bc)}=\frac{2}{K(4-x(K-x))}+g_K(x).\tag{1}$$ El primer término en el lado derecho es un valor no negativo y convexa de la función $h_K(x)$ $[0,K]$ cuya gráfica es simétrica con respecto a $x=K/2$. Desde $h_K(K/2)>h_K(0)$, $h_K(x)\geq h_K(0)=\frac{1}{2K}$ de la siguiente manera. Esto nos da: $$\sum_{cyc}\frac{2}{(3-a)(4-bc)}\geq\frac{1}{2K}+\frac{8(6-K)}{(13-3K)^2}=j(K).\tag{2}$$ $j(K)$ es una función convexa $[0,3]$, cuyo mínimo se alcanza en $x=1.4638\ldots$. Esto nos da:

$$\sum_{cyc}\frac{1}{(3-a)(4-bc)}\geq 0.831262\ldots > \frac{4}{5}.\tag{3}$$ Podemos mejorar esto: $$\sum_{cyc}\frac{1}{(3-a)(4-bc)}\geq h_K\left(\frac{K}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+(3-K)^2}\right)+\frac{8(6-K)}{(13-3K)^2}=\frac{4(13+9K-2K^2)}{K(13-3K)^2},\tag{4}$$ donde el lado derecho es el aumento en $[2,3]$. Ya podemos suponer $K=(b+c)\geq 2$ sin pérdida de generalidad, tenemos: $$\sum_{cyc}\frac{1}{(3-a)(4-bc)}\geq\frac{46}{49}.\tag{5}$$