Cómo demostrar que existe$m$ tal que$|f(m)|\le \dfrac{\sqrt{b^2-4c}}{2}$

Question

Deje que la función$$f(x)=x^2+bx+c,\qquad b^2-4c>0$$ Assume that $ x_ {1}, x_ {2}$ are the roots of $ f (x)$ and $ | x_ {1} -x_ {2} | \ ge 1 ps

Mostrar que: existe un entero$m$, tal que$$|f(m)|\le \dfrac{\sqrt{b^2-4c}}{2}$ $

Mi idea: desde$$x_{1}+x_{2}=-b,x_{1}x_{2}=c$ $ y$$f(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})$ $ so$$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{b^2-4c}$ $ so$$|f(m)|=|(m-x_{1})(m-x_{2})|\le \dfrac{(x_{1}-x_{2})^2}{4}$ $

Entonces no puedo. Muchas gracias.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $x_1<x_2$. Vamos a considerar dos casos:

• Caso 1: $\Delta~\buildrel{\rm def}\over{=}~b^2-4c\leq 4$. Desde $|x_1-x_2| \geq 1$, no es un número entero $m$ que pertenece al intervalo de $[x_1,x_2]$. Ahora $$0\geq f(m)\geq f\left(-\frac{b}{2}\right)=-\frac{\Delta}{4}\geq-\frac{\sqrt{\Delta}}{2}$$ y la desigualdad se cumple en este caso.
• Caso 2: $\Delta>4$. En este sentido, la función de $t\mapsto f(t)$ es estrictamente creciente en a $[-b/2,+\infty)$. La ecuación de $f(x)=-\frac{\sqrt{\Delta}}{2}$ tiene una única solución a $y\in [-b/2,+\infty)$ dada por $$y=\frac{-b+\sqrt{\Delta-2\sqrt{\Delta}}}{2}$$ y de manera similar a La ecuación de $f(x)=\frac{\sqrt{\Delta}}{2}$ tiene una única solución a $z\in [-b/2,+\infty)$ dada por $$z=\frac{-b+\sqrt{\Delta+2\sqrt{\Delta}}}{2}$$ Ahora $$\eqalign{z-y y=\frac{\sqrt{\Delta+2\sqrt{\Delta}}-\sqrt{\Delta-2\sqrt{\Delta}}}{2}\cr &=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{\Delta}}}+\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{\Delta}}}}>1 }$$ aquí hemos utilizado la fácil desigualdad : $\dfrac{2}{\sqrt{1+u}+\sqrt{1-u}}>1$. Ahora, desde la $z-y>1$ no es un número entero $m$ que pertenece a $[y,z]$ pero luego $$-\frac{\sqrt{\Delta}}{2}=f(y)\leq f(m)\leq f(z)=\frac{\sqrt{\Delta}}{2}$$ y la conclusión deseada de la siguiente manera.$\qquad\square$

Answer 2

Consideramos el siguiente problema equivalente.

Para $ d \geq 1 $, definir $ g(x) = x^2 + dx$. Queremos mostrar que existe números reales $ j \leq 0 \leq k$ $k-j \geq 1$ tal que para todos los $ j \leq x \leq k$, tenemos

$$ - \frac{d}{2} \leq g(x) \leq \frac{d}{2} . $$

Prueba de Equivalentes: A ver por qué esto es equivalente, es porque se nos puede ir de $g(x)$ $f(x)$por una horizontal de traducción y la traducción de la gama de $[j,k]$ nos garantiza que tenemos un valor entero.

Prueba de nuevo el problema: Con esta versión simplificada, se puede fácilmente resolver la desigualdad.

Para $ 1 \leq d \leq 2$, el conjunto solución es

$$ \frac{1}{2} ( -d - \sqrt{d(d+2)}) \leq x \leq \frac{1}{2}( \sqrt{d(d+2)}-d).$$

Compruebe que $k-j = \sqrt{d(d+2)} \geq \sqrt{3} \geq 1 $.

Para $ 2 < d$, el conjunto solución (que contiene 0) es

$$\frac{1}{2} ( \sqrt{ d(d-2)} -d) \leq x \leq \frac{1}{2} ( \sqrt{ d(d+2) } -d ) .$$

Compruebe que $ k-j = \frac{1}{2} ( \sqrt{ d(d+2) } - \sqrt{d(d-2)}) = \frac{2d}{ \sqrt{d^2+2d} + \sqrt{d^2+2d}} > \frac{2d}{2d} = \geq 1$.