Forma cerrada para la suma parcial$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{\ln k}k$

Question

Me gustaría encontrar un formulario cerrado para esta suma parcial:$$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{\ln k}k$ $

Usando las propiedades de los logaritmos, convertí el anterior en$$\ln\left(\prod_{k = 1}^n k^{1/k}\right),$ $ pero no sé cómo proceder. ¿Es esta la dirección correcta? De lo contrario, ¿qué puedo hacer?

Answer 1

Tenemos, por suma parcial:$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{H_k}{k} = H_n^2 - \sum_{k=1}^{n-1}\frac{H_k}{k+1} $ $, de ahí sigue que:$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{H_k}{k} = \frac{H_k^2+H_k^{(2)}}{2} \tag{1}$ $ y desde:$$ H_n = \log n +\gamma +\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\tag{2} $ $ se sigue que:

ps

Answer 2

Es asintóticamente$O(\log^2 n)$, puede obtenerlo con la fórmula de Euler-Maclaurin. No creo que exista una expresión de forma cerrada.

Answer 3

No estoy seguro de que exista una forma cerrada sobre la base de funciones elementales.

Hay una forma cerrada que implica la constante Stieltjes así como la Stieltjes generalizada constante$$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{\ln k}k=\gamma _1-\gamma _1(n+1)$ $, lo que no estoy seguro de que disfrute.