Una forma más rápida de obtener una integral racional$\int_2^3 \frac{x^{100}+1}{x^3+1} \, dx$

Question

Entonces mi problema es calcular esta integral: $$ \ int_ {2} ^ {3} \ frac {x ^ {100} 1} {x ^ 3 1} \, dx $$ Sé que se puede hacer por polinomio división pero eso es realmente tedioso, tendría que dividir$\approx 30$ veces.

Y sé que Mathematica me daría la respuesta en un abrir y cerrar de ojos.

¿Hay una manera inteligente de hacerlo con pluma y papel?

Answer 1

Bueno ... tal vez la división no sea tan mala. ¿Conoces las series geométricas? Que es

$$ 1 r r ^ 2 \ ldots r ^ {32}? $$ Es $$ \ frac {r ^ {33} - 1} {r-1} $$ Si aplica esto a$r = -x^3$, obtiene $$ \ frac {-x ^ {99} - 1} {- (x ^ 3) -1} = \ frac {x ^ {99} 1} {x ^ 3 1} $$ Sé que eso no es lo que querías, pero si haces un poco de álgebra, puedes hacer esto: \begin{align} \frac{x^{100} + 1}{x^3 + 1} &= \frac{x^{100} + x - x + 1}{x^3 + 1}\\ &= \frac{x^{100} + x}{x^3 + 1} + \frac{-x + 1}{x^3 + 1}\\ &= x\frac{x^{99} + 1}{x^3 + 1} + \frac{-x + 1}{x^3 + 1}. \end {align} Ahora integrar la primera fracción es fácil debido a la serie geométrica, y todo lo que tienes que lidiar con es la última.

Answer 2

Tenemos$$ J=\int_{2}^{3}\frac{x-1}{x^3+1}\,dx = \frac{1}{3}\log\left(\frac{21}{16}\right)\tag{1}$ $ por descomposición de fracción parcial, y esa es la única parte molesta, ya que$$ I = \int_{2}^{3}\frac{x^{100}+1}{x^3+1}\,dx = -J+\int_{2}^{3}x\cdot\frac{x^{99}+1}{x^3+1}\,dx \tag{2}$ $ y$$ \frac{x^{99}+1}{x^3+1} = 1-x^3+x^6-\ldots+x^{96} \tag{3} $ $ so:$$ \boxed{\int_{2}^{3}\frac{x^{100}+1}{x^3+1}\,dx} =-J+ \int_{2}^{3}\sum_{k=0}^{32}(-1)^k x^{3k+1}dx=\boxed{-\frac{1}{3}\log\left(\frac{21}{16}\right)+\sum_{k=0}^{32}(-1)^k\frac{3^{3k+2}-2^{3k+2}}{3k+2}}\tag{4} $ $

Answer 3

No es tan malo con la división larga desde$$\frac{x^{100}+1}{x^3+1}=\sum_{n=0}^{32}(-1)^nx^{3n+1}+\frac{1-x}{x^3+1}$$ and $$\frac{1-x}{x^3+1}=\frac{1-2 x}{3 \left(x^2-x+1\right)}+\frac{2}{3 (x+1)}$ $ Entonces, la antiderivada es bastante simple pero, para la integral definida, ¡espero y deseo que seas muy paciente!

Answer 4

Dado lo que es la integral indefinida, no creo que quieras hacer esto a mano.

Algunos problemas de matemáticas simplemente no son razonables para hacer a mano. Si puedes hacerlo con Mathematica u otra herramienta digital, entonces ese es un enfoque mucho mejor. No solo porque ahorra tiempo, sino porque así resolvemos la mayoría de los cálculos matemáticos.