La regla de L'Hospital ayuda

Question

Intenté usar la regla de L'Hospital para encontrar el límite como $x$ tiende a $0$ para la siguiente función:

$$f(x) = \frac{(1 - \cos x)^{1.5}}{x - \sin x}$$ He intentado diferenciar la parte superior y la inferior y puedo hacerlo muchas veces pero sigue dando el denominador con cero lo que significa que tengo que diferenciar una y otra vez (principalmente porque a $(1 - \cos x)^{0.5}$ siempre se las arregla para encontrar su camino en el numerador).

¿Hay alguna forma mejor de resolver esta cuestión de límites?

Answer 1

Pista:

$$1-\cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$$

también:

$$\frac{2\sin \frac{x}{2}}{x - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} $$

$$\implies \frac{2}{\frac{1}{2} \frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} -{2}\cos \frac{x}{2}} $$

donde:

$$\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1$$

aquí considerar: $\alpha = \frac{x}{2}.$

Entonces, está listo para reemplazar $x \rightarrow 0$ ¡!

Answer 2

Parece que quiere decir $(1 - \cos x)^{3/2}$ en el numerador. Por favor, refleje esto editando su pregunta. He editado la pregunta para reflejar esto.

En este caso se puede demostrar que el límite no existe ya que los límites izquierdo y derecho son diferentes. Para ello es necesario utilizar el límite estándar $$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}\tag{2}$$ y el uso de la Regla de L'Hospital una vez.

Así, tenemos para $x \to 0^{+}$ \begin{align} L &= \lim_{x \to 0^{+}}\frac{(1 - \cos x)^{3/2}}{x - \sin x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0^{+}}\left(\frac{1 - \cos x}{x^{2}}\right)^{3/2}\cdot\frac{x^{3}}{x - \sin x}\notag\\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{x \to 0^{+}}\frac{x^{3}}{x - \sin x}\notag\\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{x \to 0^{+}}\frac{3x^{2}}{1 - \cos x}\text{ (via L'Hospital's Rule)}\notag\\ &= \frac{3}{\sqrt{2}}\notag \end{align} El límite como $x \to 0^{-}$ es $-3/\sqrt{2}$ y esto se puede demostrar poniendo $x = -t$ y, a continuación, utilizando la evaluación de límites anterior.

Answer 3

Tenga en cuenta que no existe un límite de dos lados, así que vamos a ver el límite que se aproxima desde el lado positivo. Después de un tiempo Hospital, obtenemos $\frac{1.5sinx\sqrt{1-cos}}{1-cosx}$ Ahora es muy fácil: Divide $\sqrt{1-cosx}$ y luego multiplicar arriba y abajo por $\sqrt{1+cosx}$ y tras aplicar el teorema de Pitágoras en el denominador, la expresión se convierte en $\frac{1.5sinx\sqrt{1+cosx}}{sinx}$ . Así que el $sinx$ plazo se anula y puedes coger el límite $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ . La razón por la que el límite sólo existe por un lado es porque técnicamente la raíz cuadrada de $sin^2x$ es $|sinx|$ . Sugerencia: Haz un gráfico. Yo lo hice... Cuando te acercas a $0$ del lado negativo, se obtiene $-\frac{3\sqrt{2}}{2}$ . ¿Ves por qué?

Answer 4

Tenga en cuenta que $1-\cos x\geq 0$ y es una función par, por lo que $(1-\cos x)^{3/2}$ también es par. Por otro lado, $x-\sin x$ es impar. Cuando divides una función par e impar, obtienes una función impar. Debido a la simetría de las funciones Impares, o bien $\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0$ o el límite no existe. Puedes ver que el límite en un lado es $\frac{3}{\sqrt{2}}$ (véase la respuesta de imranfat), por lo que el límite no debe existir.