La respuesta depende de lo que usted considera un método de sumación. Hay muchos, con el "clásico" de uno dado por la convergencia de las sumas parciales de ser sólo una "primera piedra" - y, por supuesto, este no asignar un finito (real) el valor de $\sum n$. De los diversos métodos, no solo se puede asignar diferentes valores a ciertas series, que pueden tener distintas opiniones de si es o no una determinada suma se define en primer lugar. Hay ciertas propiedades de una suma método puede o no puede tener, que nos permiten hablar de manera muy general acerca de ellos:
- Regularidad: Una suma método se llama regular si coincide con el de la serie cuando éste converge. Es decir, si $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia tal que $\sum_{n=1}^N a_n$ converge a un número $A\in\mathbb R$$N\to \infty$,$\sum a_n=A$.
Linealidad: Si $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ $\{b_n\}_{n=1}^\infty$ son secuencias que $A:=\sum a_n$ $B:=\sum b_n$ se definen y $u,v$ son números reales, entonces $\sum (ua_n+vb_n)$ está definido y su valor es $uA+vB$.
Estabilidad: Si $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia y definimos $b_n=a_{n+1}$, entonces si uno de $A:=\sum a_n$ $B:=\sum b_n$ está definido, entonces también lo es el otro y la ecuación de $A=a_1+B$ mantiene.
Un conocido ejemplo de un método de la sumación es Cesàro suma: Vamos a $s_N=\sum_{n=1}^Na_n$ y definen $\sum a_n = \lim_{N\to\infty}\frac{s_1+s_2+\ldots +s_N}{N}$ siempre que el límite exista. Este método de la sumación es regular, lineal y estable. Y es capaz de manejar el caso de $a_n=(-1)^n$, por lo que es una extensión adecuada de clásicos de la suma de series!
Aparte de Cesàro suma hay muchos othes, pero, curiosamente, a menudo están de acuerdo en muchos de los resultados. De hecho, algunos resultados pueden ser derivados solamente por las propiedades mencionadas anteriormente. Por ejemplo, si la suma es lineal y estable (pero no necesariamente regular) y asigna un valor a la serie geométrica $G(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n$ para ciertos $x$, entonces se debe asignar un muy determinado valor. De hecho nos encontramos por el uso de statbility y linealidad que
$$G(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n = x+\sum_{n=1}^\infty x^{n+1}=x+x\cdot \sum_{n=1}^\infty x^{n}=x(1+G(x))$$
por lo tanto , necesariamente tenemos $G(x)=\frac x{1-x}$ si $x\ne 1$ $G(x)$ está definido. Específicamente, $G(-1)$ es $-\frac12$ o indefinido para cualquier lineal estable suma (y, de hecho, este es también el valor de Cesàro calcula).
También vemos que si $G(1)$ está definido por una lineal estable suma, a continuación,$G(1)=1+G(1)$; llegamos a la conclusión de que $G(1)$ no está definida para cualquier lineal estable suma.
Como corolario, $S:=\sum n$ no está definida para cualquier lineal estable suma. De hecho, si así fuera, nos encontraríamos por la regularidad que $\sum (n+1)$ también se define y es igual a $-1+S$. Entonces por liniearity
$$-1=(-1+S)-S=\sum(n+1)-\sum n=\sum 1 $$
podría definirse como el bien.
"Por desgracia", estabilidad y linealidad sentir como deseable variar las propiedades de la suma, si es que de alguna manera conforman la noción de suma de los términos. Así que cuando se busca sumatorias que asignar un valor a $\sum n$ tenemos que tirar por la borda al menos una de estas condiciones. Pero mientras que de alguna forma no restringir lo que consideramos un método de la sumación y lo que no, no hay ningún obstáculo en la asignación de un valor arbitrario a $\sum n$. Por ejemplo, se podría declarar la $\sum a_n=P(42)$ cada vez que existe un polinomio $P(X)\in\mathbb R[X]$ tal que $\sum_{n=1}^N a_n-P(N)$ converge a$0$$N\to\infty$. Esta suma podría incluso ser regular y lineal (pero no estable). Desde $\sum_{n=1}^Nn=\frac{N(N+1)}{2}$, se podría asignar a $\sum n= 903\ne-\frac1{12}$.
