diámetro de los colectores riemannianos

Question

Sea$M$ un manifold riemanniano compacto de dimensión$n$. Si$M\subset N$ es un incrustado en otro manifold de Riemann, podemos definir el diámetro$d(M,N$) de$M$ en$N$ como la distancia más larga en$N$ de dos puntos en$M$. Por ejemplo, si$S^2$ es una esfera de radio$R$ en${\mathbb{R}}^3$, tenemos$$d(S^2,S^2)=\pi R , \qquad d(S^2,{\mathbb{R}}^3)=2R.$ $ Si$d>0$ es un entero, podemos definir$$e(M,d)=\inf\big(d(M,N);\quad M\subset N \quad \text{and} \quad \dim(N)=\dim(M)+d\big)$ $ Si hay una forma (una fórmula) para calcular$e(M,d)$? ¿Es cierto que$$\lim_{d\to\infty}e(M,d) \ = \ 0 \ ?$ $

Answer 1

Esto es sólo una versión ampliada de Einar Rødland del comentario. Tenga en cuenta que esto es suficiente para mostrar que $e(M,1) = 0$. Deje $N = M \times \mathbb R$ $M\subseteq N$ se identifica con $M \times \{0\}$. Para cada una de las $\epsilon >0$, vamos a $g = g_\epsilon$ ser una métrica en $N$ dada por

$$g_\epsilon = f^2_\epsilon (t) ( g_M + dt^2),$$

donde $ f_\epsilon$ es una función positiva de modo que

$$f_\epsilon (t) = \begin{cases} 1 & \text{if } t\in (-\epsilon/8,\epsilon/8), \\ \epsilon/2d(M) &\text{if } t= \epsilon/4\\ \le 1 &\text{otherwise.}\end{cases}$$

Tenga en cuenta que $M \subset N$ es un isométrico de la incrustación. Deje $x,y\in M$ $\gamma$ ser un mínimo geodésica en $M$ unirse a $x, y$. A continuación, el (seccionalmente suave) de la curva

$$ (x,0) \to (x,\epsilon/4) \overset{(\gamma(\cdot), \epsilon/4)}{\to } (y,\epsilon/4) \to (y,0)$$

tiene una longitud de menos de $\epsilon/4 + (\epsilon/2d(M)) \times d_M(x,y) + \epsilon /4 \le \epsilon$.

Desde $x, y$ son arbitrarias, $e(M,1) \le \epsilon$. Por lo tanto $e(M,1) = 0$ $\epsilon $ es arbitrario.