El potencial escalar de su teoría es
$$V(\phi) = \lambda (\phi^a \phi^a - v^2)^2,$$
donde sospecho que significaba para tomar la plaza, como he escrito aquí. Este potencial se minimiza cuando se $\sqrt{\phi^a \phi^a} = v$. Creo que de $\phi=\frac{1}{2} \phi^a \sigma^a$ como un vector con componentes de $\phi^a$ en las 3 dimensiones espacio vectorial con base de vectores $\sigma_a/2$. La ecuación de $\sqrt{\phi^a \phi^a}=v$ dice que la norma de este vector es $v$ en los mínimos del potencial. A la mínima que el locus de la potencial es por lo tanto una 2-esfera de radio $v$ en este espacio 3d, que consta de los vectores cuya norma se fija a $v$.
Elegir al azar una de estas mínimas configuraciones del campo, decir $\phi_0=\frac{1}{2} v \sigma^3$ (el "polo norte" de la 2-esfera, si te gusta). Considerar como un indicador de la transformación actúa en este campo de configuración. Desde el escalar se transforma en el adjunto representación del grupo gauge, un medidor de transformación de $e^{iT} \in \mathrm{SU}(2)$ actúa en $\phi_0$ $\phi_0 \mapsto e^{i T} \phi_0 e^{-iT}$ o, infinitesimalmente, $\delta \phi_0 = i [T,\phi_0]$. Aquí, $T = \frac{1}{2} T^a \sigma^a$ es un elemento arbitrario de $\mathrm{su}(2)$, la Mentira álgebra de $\mathrm{SU}(2)$. Nuestro campo de configuración de $\phi_0 = \frac{1}{2} v \sigma^3$ por lo tanto es invariante bajo este medidor de transformación al $T \propto \sigma_3$, mientras que $\phi_0$ no es invariante si $T$ tiene soporte a lo largo de $\sigma^1$ o $\sigma^2$. Nos encontramos con que un único generador de $\mathrm{su(2)}$ (lo que genera un $\mathrm{U(1)}$ subgrupo de $\mathrm{SU(2)}$) de hojas de $\phi_0$ invariante, mientras que los otros dos generadores de ley de no-trivial.
En tal situación, decimos que el $\mathrm{SU(2)}$ medidor de simetría ha sido Higgsed a un $\mathrm{U(1)}$ subgrupo. Para determinar el espectro de los campos de la Higgsed teoría, realizar un campo de redefinición $\phi' = \phi- \phi_0$, de tal manera que el potencial es ahora minimizado por $\phi' = 0$. Si reemplaza $\phi$ $\phi'+\phi_0$ en su Lagrange y expandirla, usted encontrará que el medidor de campos de $A_1$ $A_2$ se han convertido en enormes (en unitario indicador), mientras que $A_3$ permanece sin masa. Usted puede determinar de inmediato el medidor de campo masas mediante la simple sustitución de $\phi$ $\phi_0$ en el escalar cinética plazo $(D_\mu \phi^a) (D^\mu \phi^a)$:
\begin{align}(D_\mu \phi_0^a)(D^\mu \phi_0^a) =& (g \epsilon^{abc} A_\mu^b v \delta^{c,3})(g \epsilon^{ade} A_\mu^d v \delta^{e,3})\\
=& g^2 v^2 \epsilon^{ab3} \epsilon^{ad3} A_\mu^b A_\mu^d\\
=&g^2 v^2 (A_\mu^1 A_\mu^1+A_\mu^2A_\mu^2).
\end{align}
Por lo tanto, $A_1$ $A_2$ tienen cada uno adquirieron una masa del orden de $gv$. Ellos son a menudo objeto de comercio para el "complejo medidor de campos" $W_\pm = A_1 \pm i A_2$ porque es $W_\pm$ que aparece en metros interacciones con la materia. Voy a dejar la expansión explícito de la Lagrangiana para trabajar.
Que debe resolver las dos primeras preguntas. La tercera pregunta es ¿qué pasará si usted toma el escalar a vivir en una representación distinta. El análisis procede de la misma manera, así que permítanme resumir el procedimiento para arbitrario grupo gauge y la representación. Uno comienza con un potencial escalar $V(\phi)$ y determina los campos configuraciones de minimizar, $\mathcal{M}_0 = \left \{\phi_0: V'(\phi_0) = 0, V''(\phi_0) > 0 \right\}$. Supongamos que la acción es invariante bajo un grupo de simetría $G$, $\phi$ pertenece a una representación lineal $R$$G$. En otras palabras, $\phi$ se transforma a medida $\phi \mapsto R(g) \phi$ donde $R(g)$ es la representación de la matriz de $g$. Para una transformación infinitesimal (al $G$ es continuo), $\delta \phi = i T \phi$ donde $R(g)=e^{iT}$.
Ya que la acción es invariante bajo $G$, $V(\phi_0) = V(R(g) \phi_0)$ para cualquier $g \in G$.
Por lo tanto $G$ mapas de $\mathcal{M}_0$ a sí mismo. $R(g)$ necesidad de no dejar a $\phi_0$ invariantes, sin embargo. En general, sólo un subgrupo de $H \subset G$ dejará $\phi_0$ invariante. Es decir, entre la lista de los generadores $\{T_a\}$$G$, algún subconjunto (la "ininterrumpida" generadores) dejará $\phi_0$ invariante, $\delta \phi_0 = i T_a \phi = 0$, mientras que el resto no (el "roto" generadores). La ininterrumpida generadores de generar el subgrupo $H$, mientras que el roto generadores corresponden a la coset $G/H$.
Si $G$ es una simetría global, podemos decir que ha sido espontáneamente rota en el subgrupo $H$. Si $G$ es un indicador de simetría, podemos decir que ha sido Higgsed a $H$. El medidor de campos a lo largo de los generadores de $H$ permanecen sin masa, mientras que el medidor de campos a lo largo de la quebrada generadores masiva (de nuevo, en unitario indicador).
Para asegurarse de que entiende este procedimiento, se debe llevar a cabo esta línea de análisis para varios otros ejemplos. He mostrado cómo el análisis va para un $\mathrm{SU(2)}$ teoría de gauge Higgsed por un adjunto. Usted puede venir para arriba con otros ejemplos de calibre de los grupos y de las representaciones y de los detalles, o el estudio de los muchos ejemplos que se presentan en los muchos teoría de campo de los libros.
Por el camino, la Georgi-Glashow modelo se refiere a un $\mathrm{SU(5)}$ teoría de gauge, no $\mathrm{SU(2)}$ teoría de gauge.
