Sistema de axiomas que viola el teorema de Incompletitud de Godel

Question

Como yo lo entiendo, el teorema de la incompletitud de Gödel sólo se aplican a cualquier sistema para que el conjunto de todas las declaraciones en el sistema puede ser asignado a un conjunto de elementos únicos en el sistema (Los números de Gödel de las declaraciones).

Si esta interpretación es correcta, no es, por tanto, a ser posible el diseño de un sistema tal que la cardinalidad del conjunto de todos los estados posibles dentro de un sistema mayor que la cardinalidad del conjunto de todos los elementos posibles en un sistema que luego no estarán obligados por el teorema de la incompletitud? (Quizás a través de algún conjunto infinito de los operadores o si no que, a continuación, a través de algún otro medio)

Answer 1

Sí, usted puede hacer esto de muchas maneras.

La más obvia es tomar el lenguaje de la aritmética $L=\{+,\times, 0, 1, <\}$ y añadir una tonelada de basura. Por ejemplo, podríamos añadir una cantidad no numerable de constante de símbolos $c_i$ ($i\in I$, $I$ lo suficientemente grande). El resultado de lenguaje $L'$ sería más grande que el modelo estándar $\mathbb{N}$ de la aritmética, por lo que no habría manera de representar cada una de las $L'$a la sentencia por un elemento de a $\mathbb{N}$ como en Goedel de numeración. Y hay un montón de trucos similares que podemos jugar.

Sin embargo, hay algunos puntos a tomar.

• Esta no es la forma más natural de conseguir una teoría a la que Goedel no se aplica. De forma más natural, podemos echar una teoría que es demasiado débil (por ejemplo, la aritmética de Presburger; y hay, incluso, "intermedio" teorías de la aritmética que son lo suficientemente fuertes para expresar su propia consistencia, pero suficientemente débil para no ser objeto de Goedel del segundo teorema, y en el hecho de demostrar su propia consistencia). Otro enfoque sería tomar teorías que son demasiado fuertes (por ejemplo, la teoría completa de la aritmética, para que la coherencia no es expresable en el lenguaje de la aritmética), o son demasiado complicadas (por ejemplo, nos puede dar un no-recursiva definida presentación de la aritmética de Peano, lo que demuestra su consistencia propia).

• Las teorías a las que podemos sacar de este lenguaje de expansión todavía puede ser incompleta, esencialmente por la misma razón que en el PA! Por ejemplo, supongamos $L'$ ser como el anterior, y considerar la posibilidad de $PA$ como una teoría en este idioma (por lo que no añaden nuevos axiomas que rigen la $c_i$s). A continuación, $Con(PA)$ todavía no demostrable en esta configuración. Por otra parte, incluso si se añaden algunos axiomas a $PA$, siempre y cuando lo hacemos en un "buen" camino, estamos golpeó contra la pobreza. E. g. deje $PA'$ $PA$ junto con "$c_i\not=c_j$" para todos los $i\not=j$ (tenga en cuenta que cualquier modelo de $PA'$ debe ser incontables!). A continuación, cada fragmento finito de $PA'$ es interpretable en $PA$, y en el hecho de $PA$ demuestra la consistencia de cada fragmento finito de $PA'$ interpretarse adecuadamente; por lo que no finito fragmento de $PA'$ demuestra $Con(PA)$ por Goedel. Pero esto a su vez significa que $PA'$ no es prueba de $Con(PA)$, por Goedel la integridad teorema. Así que al final del día, usted todavía tiene que añadir algunas interesantes axiomas después de la expansión de su lengua, y tienes que hacerlo en una lo suficientemente complicado como para obtener alrededor de Goedel; así que en realidad este enfoque, aunque parece bloque de Goedel de codificación, no es la manera de ir sobre las cosas.