Limite

Question

Soy un nuevo participante en este foro matemático, así que este es uno de los que no pude resolver.

ps

He intentado transformar el producto en una suma como función de una función logarítmica, y no he tenido éxito. Me gusta $$I=\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\int_0 ^1 x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)d x}$, $u=x^n$

$du=nx^{n-1}dx$

$g_n(u) = \sqrt[n]{\frac{ dx}{du} \cdot x^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot \prod_{k=1}^n(1 - x^k)}$

Answer 1

Vea si esto se convierte a una suma de Riemann que converge a una integral:$$g_n(u)=\sqrt[n]{\frac{1}{nx^{n-1}}} \cdot x^{\frac{n+1}{2}} \cdot e^{\frac 1n\sum_{k=1}^n \ln(1 - x^k)}=\sqrt[n]{\frac{1}{nx^{1-1/n}}} \cdot u^{\frac{n+1}{2n}} \cdot e^{\frac 1n\sum_{k=1}^n \ln(1 - x^k)}\\\sim \sqrt{u}\exp\int_0^1\ln(1-u^t)dt=\sqrt u\exp\frac{\zeta(2)-{\rm Li}_2(u)}{\ln u}$ $ El máximo parece ser$\approx0.185155$ en$u\approx 0.245254$ sin posiblemente una forma cerrada como dice wolfram .

Answer 2

Como$$\sqrt{x^k(1-x^k)}\le\frac{x^k+(1-x^k)}2=\frac12\iff x^k(1-x^k)\le\frac14$ $ So:$$\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\int_0 ^1 x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)d x}=\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\int_0 ^1 \prod_{k=1}^nx^k(1-x^k)}\le\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\int_0^1\left(\frac14\right)^ndx}=\frac14$ $ Entonces, el límite es$\displaystyle\le\frac14$ Tenga en cuenta que la igualdad no se aplica a valores definidos, sino$\sqrt[k]2$ que son todos menos que$0.5$