Bueno, vamos a empezar a partir de la forma de las ecuaciones. Cuando veo el sistema de $\dot{x} = y, \; \dot{y} = \dots$ la primera cosa que pienso es que tal vez el sistema es equivalente a $\ddot{x} = F(x)$. He leído la segunda ecuación y veo que no es el caso: $\dot{x} = y, \; \dot{y} = -y + \frac{x^2-1}{2}$. Pero, ¿cómo exactamente no es el caso? Bueno, sólo hay $-y$ plazo que estropea todo. Si no existe tal término es conservador del sistema, se tiene la primera integral, y hay mucho puede decirse acerca de la dinámica. Por ejemplo, si nos deshacemos de $-y$ plazo, el sistema de beecomes $\dot{x} = y, \; \dot{y} = \frac{x^2-1}{2}$ $\Phi(x, y) = \frac{y^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x}{2}$ es una primera integral. Vamos a ver lo mal que esta $-y$ plazo estropea la foto. Para esto debemos calcular la derivada con respecto a su original sistema:
$$ \frac{d}{dt}(\Phi(x, y)) = \Phi_{x}(x, y) \cdot \dot{x} + \Phi_y(x, y) \cdot \dot{y} = - \frac{x^2-1}{2} \cdot y + y \cdot \left( -y + \frac{x^2-1}{2} \right ) = -y^2$$
Es un tipo de función de Lyapunov - usted tiene para limitar el dominio y elegir algunas de vecindad para aplicar el teorema de Lyapunov, pero aún así es útil aquí. Por ejemplo, se obtiene el siguiente: cuando la trayectoria no se cruzan $Ox$ eje de la primera integral disminuye. Desde el punto de vista geométrico que significa que a lo largo de cualquier nivel de campo vector que apunta en la misma dirección (o tangente).
En referencia a mi anterior respuesta , podemos tratar de probar la existencia de heteroclinic trayectoria usando el caso de la interceptación de la región. Elija un nivel de conjunto que contiene silla de equilibrio. Vector de puntos de campo hacia el interior a lo largo de ella, excepto en dos puntos (ambos están en $Ox$ eje). La parte de este conjunto de nivel es un límite de nuestra reventado región: vector de puntos de campo, hacia el interior, no de la trayectoria puede escapar de esta región. Si usted quiere decir que hay un problema con estos dos puntos, no es realmente el problema: uno de ellos es una silla de $C^1$-sistema y no de la trayectoria puede escapar de dominio a través de ella. ¿Por qué el sistema no puede escapar desde otro punto de $Ox$ eje? Así, se puede comprobar $\ddot{x}$ por una trayectoria que pasa por este punto y encontrar, ¿realmente ir dentro o fuera; yo me quedo con Bony-Brezis teorema. Ahora tenemos el ingrediente clave para la aplicación de Poincaré-Bendixson teorema - a forward invariante de dominio. Pero Poincaré-Bendixson teorema establece que en el dominio compacto de sistema plano sólo atractores son equilibrios, ciclos límite y heteroclinic contornos o homoclinic bucles. Sabemos que todos los equilibrios de seguro, pero ¿qué sabemos acerca de los ciclos límite, heteroclinic contornos o homoclinic bucles? Aquí es el último ingrediente: Bendixson-Dulac teorema. La divergencia de este sistema es constante y es igual a $-1$ - que impide la existencia de ciclos límite, heteroclinic contornos y homoclinic bucles.
Así que, para resumir:
- Hemos encontrado adelante invariante en el compacto de la región a la que Poincaré-Bendixson teorema se puede aplicar
- En esta región, sabemos que todos los equilibrios y sus propiedades de estabilidad
- También, sabemos que no hay límite de ciclos o homoclinic bucles o heteroclinic contornos debido a Dulac-Bendixson
- Si tomamos inestable separatrix de silla de montar, el que debe permanecer invariante en la región y debe ir a atractor. El único atractor es un sumidero, tan inestable separatrix va.
