$f$ es diferenciable en a $(a, b)$. (1)
Deje $\alpha \in (a, b)$.
$f'(\alpha) = \lim_{h \to 0}\frac{f(\alpha + h) - f(\alpha)}h$.
(1) $\implies f$ es diferenciable entre el$\alpha$$\alpha + h$, inclusive.
Por el valor medio teorema, $\exists c_n$ entre $\alpha$, $\alpha + h$: $f'(c_n) = \frac{f(\alpha + h) - f(\alpha)}{\alpha + h - \alpha}$.
Por eso, $f'(\alpha) = \lim_{h \to 0}f'(c_n)$.
Como $h \to 0$, $c_n \to \alpha$.
Por eso, $f'(\alpha) = \lim_{c_n \to \alpha}f'(c_h) \implies f'$ es continua en a $\alpha \forall\alpha\in(a, b)$.
$\therefore f$ es diferenciable en a $(a, b) \implies f'$ es continua en a $(a, b)$.
Pero, evidentemente, la afirmación no debe ser cierto para algunas funciones como las siguientes, la derivada existe, pero no es continua en cero:
$f(n) = \begin{cases} n^2 \sin(\frac{1}{n^2}) & n \in \mathbb R \\ 0 & n = 0. \end{casos}$
$f'(0) = 0$. Pero $\lim_{n \to 0}f'(n)$ no existe.