¿Lo que está mal en esta prueba que cualquier función derivada debe ser continuo?

Question

$f$ es diferenciable en a $(a, b)$. (1)

Deje $\alpha \in (a, b)$.

$f'(\alpha) = \lim_{h \to 0}\frac{f(\alpha + h) - f(\alpha)}h$.

(1) $\implies f$ es diferenciable entre el$\alpha$$\alpha + h$, inclusive.

Por el valor medio teorema, $\exists c_n$ entre $\alpha$, $\alpha + h$: $f'(c_n) = \frac{f(\alpha + h) - f(\alpha)}{\alpha + h - \alpha}$.

Por eso, $f'(\alpha) = \lim_{h \to 0}f'(c_n)$.

Como $h \to 0$, $c_n \to \alpha$.

Por eso, $f'(\alpha) = \lim_{c_n \to \alpha}f'(c_h) \implies f'$ es continua en a $\alpha \forall\alpha\in(a, b)$.

$\therefore f$ es diferenciable en a $(a, b) \implies f'$ es continua en a $(a, b)$.

Pero, evidentemente, la afirmación no debe ser cierto para algunas funciones como las siguientes, la derivada existe, pero no es continua en cero:

$f(n) = \begin{cases} n^2 \sin(\frac{1}{n^2}) & n \in \mathbb R \\ 0 & n = 0. \end{casos}$

$f'(0) = 0$. Pero $\lim_{n \to 0}f'(n)$ no existe.

Answer 1

Sí, $f'(c_h) \to f'(\alpha)$ $h \to 0$ (especie de está no muy bien definido, pero usted puede encontrar una secuencia $h_n$ tal que...), pero que no descartar la posibilidad de que hay algunas otras secuencia $x_n \to \alpha$ tal que $f'(x_n)$ hace no tienden a $f'(\alpha)$.

Answer 2

Considere la posibilidad de la afirmación de$$\displaystyle f'(\alpha)=\lim_{c_h\to\alpha}f'(c_h).\tag{1}$$Hay varios problemas aquí:

1. Lo hace incluso decir? Estás actuando como si $c_h$ es un bien determinado número dependiendo $\alpha$$h$. No es. Todo lo que sabemos es que, para cada una de las $\alpha$ y cada una de las $h>0$, hay algunos $c_h$ , con una cierta propiedad.
2. Continua en $\alpha$ significa que $\displaystyle\lim_{\beta\to\alpha}f'(\beta)=f'(\alpha)$, que no es lo $(1)$ dice.

Como un ejemplo, considere la function$$\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\\&x&\mapsto&\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)&\text{ if }x\neq0\\0&\text{ otherwise.}\end{cases}\end{array}$$It is not continuous at $0$. Now, for each $h>0$, let $c_h=\frac1{n\pi}$ where $n$ is the smallest natural number such that $\frac1{n\pi}<h$. Then it is clear that $f(c_h)=0$. Furthermore, $f(0)=0$. However, you can't deduce from this that $f$ is continuous at $0$.