cuál es el valor real de $\sqrt2^{\sqrt2^{\large \sqrt2^{\sqrt2^{\unicode{x22F0}}}}}$ ?

Question

Hoy escuché este problema de mi amigo, pero desafortunadamente no pudimos averiguar lo que está sucediendo aquí.

$$x^{x^{\large x^{x^{\unicode{x22F0}}}}}=2$$ $$x^2=2$$ $$x=\sqrt2$$

pero

$$x^{x^{\large x^{x^{\unicode{x22F0}}}}}=4$$ $$x^4=4$$ $$x=\sqrt2$$

Tengo la sensación de que esto puede ser un duplicado, pero no pude encontrar este problema (básicamente no pude averiguar qué buscar). Entonces, ¿qué está pasando aquí, y cuál es el valor real de $$\sqrt2^{\sqrt2^{\large \sqrt2^{\sqrt2^{\unicode{x22F0}}}}}$$

?

Answer 1

Encontrar el valor de una función infinitamente iterada puede ser complicado. Normalmente, si $z$ es un punto fijo de una función $f$ (es decir, si $f(z)=z$ ), entonces suele ocurrir que $$\lim_{n\to\infty} f^n(x)=z, \forall x$$ ...sin embargo, las cosas tienden a complicarse un poco cuando $f$ tiene más de un punto fijo, como es el caso de su función $$f(x)=\sqrt 2^x$$ que tiene puntos fijos $$f(2)=2$$ $$f(4)=4$$ En este caso, el valor de $f^\infty(x)$ depende de $x$ Lo cual no tiene mucho sentido por la forma en que lo escribiste. Básicamente, esto significa que su valor depende del número "en la parte superior" de su torre de energía. Por ejemplo, si empiezas con $4$ y observar la secuencia $$a_0=4$$ $$a_{n+1}=\sqrt 2^{a^n}$$ entonces cada $a_n=4$ y así $$a_{\infty}=\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\cdots}}}}=4$$ Sin embargo, si toma $a_0=1$ , $$a_{\infty}=\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\cdots}}}}=2$$ Sin embargo, las cosas son un poco menos complicadas en este caso, ya que $x=2$ resulta ser algo llamado "punto fijo de atracción". Básicamente, terminamos con $$f^\infty\left(x\right) = \left\{ \begin{array}{lr} 2 & : x \lt 4\\ 4 & : x = 4\\ \infty & : x \gt 4\\ \end{array} \right.\\$$

Answer 2

Aunque algunas personas en este hilo pueden estar en desacuerdo, creo que la definición más obvia de una torre de energía $x^{x^{x^{\dots}}}$ es como el límite de la serie $x, x^x, x^{x^x}, x^{x^{x^x}},\dots$

o, en otras palabras, $\lim_{n\to \infty} a_n$ donde $a_0 = x$ y $a_n = x^{a_{n-1}}$ .

Ahora, para responder a sus dos preguntas:

1. ¿Por qué $x=\sqrt{2}$ Resuelve aparentemente las dos ecuaciones siguientes: $x^{x^{x^{\dots}}}=2$ y $x^{x^{x^{\dots}}}=4$ ?

La respuesta es que hay que tener mucho cuidado cuando se trabaja con secuencias infinitas. Muchas de las propiedades que normalmente son ciertas para los números cotidianos dejan de serlo para los infinitos. Por ejemplo, esto me recuerda la siguiente prueba falsa de que $1+2+4+8+\cdots = -1$

$S = 1+2+4+8+\cdots$

$S - 1 = 2 + 4 + 8 + \cdots$

$\frac{S-1}{2} = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots = S$

$S-1 = 2S \Rightarrow S = - 1$

El problema con la prueba anterior es que asume que existe un límite. Si existiera un límite, entonces sería $-1$ Pero como no existe ningún límite, la respuesta es discutible.

Volviendo a su pregunta. Cuando se toma $x^{x^{x^{\dots}}}=b$ , enchufe $b$ para conseguir $x^b=b$ y se da cuenta de que puede resolver para $x = \sqrt{2}$ lo que realmente está mostrando es que si el límite $\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}$ existe, entonces ese límite es igual a uno de esos valores $b$ .

2. ¿Qué hace $\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}$ ¿realmente iguales?

Lema 1: $a_n$ es una serie creciente.

Prueba por inducción:

Desde $\sqrt{2} > 1$ tenemos que $a_1 = \sqrt{2}^\sqrt{2} > \sqrt{2}^1 = a_0$ . Para el paso inductivo, suponiendo que $a_{n-1} > a_{n-2}$ se deduce entonces que $a_n = \sqrt{2}^{a_{n-1}} > \sqrt{2}^{a_{n-2}} = a_{n-1}$ .

Lema 2: $a_n < 2$ para todos $n$ .

Prueba por inducción:

Obviamente, $a_0 =\sqrt{2} < 2$ . Desde $a_{n-1} < 2$ se deduce que $a_n = \sqrt{2}^{a_{n-1}} < \sqrt{2}^2 = 2$ .

A partir de estos dos lemas, tenemos que $a_n$ está limitada por encima por $2$ y va en aumento, lo que significa que $\lim_{n \to \infty} a_n$ existe. Sabemos por lo anterior que si tal límite existe, debe ser uno de los puntos fijos 2 o 4. Y como nuestra serie $a_n$ nunca se acerca $4$ el límite debe ser $2$ .

Answer 3

El problema aquí es que $4$ no está en el rango (imagen) de la función torre de potencia (que sólo está definida para $x\in [e^{–e},e^{1/e}]$ ). Por tanto, la suposición de que la torre de potencia es igual a 4 es falsa y, por tanto, da una "solución" falsa.