Buscando la forma cerrada de $ \sum_ {n=1}^{ \infty }{ \zeta (2n+1) \over (2n+1)2^{4n}}$

Question

Pudimos determinar $(1)$ para tener esta forma cerrada

$$ \ln (2)- \gamma = \sum_ {n=1}^{ \infty }{ \zeta (2n+1) \over (2n+1)2^{2n}} \tag1 $$

entonces nosotros cuando estamos en y tratamos de evaluar $(2)$ y sólo la mitad de la forma cerrada

$$2 \ln (2)- \gamma -2X= \sum_ {n=1}^{ \infty }{ \zeta (2n+1) \over (2n+1)2^{4n}} \tag2 $$

Donde $$X= \sum_ {n=0}^{ \infty }{ \eta (2n+1) \over (2n+1)2^{2n+1}} \tag3 $$

donde $ \eta $ es el Dirichlet eta función y $ \gamma $ es La constante de Euler-Masheroni

¿Cómo evaluamos la forma cerrada de $(3)?$

Answer 1

Tenemos el siguiente Lemma (un bosquejo de una prueba se puede encontrar abajo)

$$ s(x)= \sum_ {n \geq 1}(-x)^n \zeta (n+1)=- \gamma - \psi (1+x) \quad \color {red}{(I)} $$

donde $ \psi (z)= \frac {d \log ( \Gamma (z))}{dz}$ es la función digamma y $ \gamma $ es la constante de Euler

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Integrando los rendimientos

$$ S(x)= \int dx s(x)= \sum_ {n \geq1 } \frac { \zeta (n+1)}{n+1}(-x)^{n+1}=- \gamma x- \log ( \Gamma (1+x)) $$

Tomando la parte del impar $$ S(x)-S(-x)=2 \sum_ {n \geq1 } \frac { \zeta (2n+1)}{2n+1}x^{2n+1}=-2 \gamma x- \log ( \Gamma (1+x))+ \log ( \Gamma (1-x)) $$

Ahora pongamos $x= \frac {1}{4}$ tenemos

$$ \sum_ {n \geq1 } \frac { \zeta (2n+1)}{2n+1} \frac1 {4^{2n}}=- \gamma +2 \log\left ( \frac { \Gamma (3/4)}{ \Gamma (5/4)} \right ) $$

que es la suma de los intereses de OP

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Ahora probamos $ \color {red}{(I)}$ :

Utilice la definición de la $ \zeta $ -funcionan como una serie e intercambian el orden de la suma. Haciendo la primera suma se obtiene $S(x)= \sum_ {k \geq1 } \frac {1}{x+k}- \frac {1}k$ expresando esto en términos de las funciones de Digamma rendimientos $ \color {red}{(I)}$ .

QED