Por qué tratar $\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm dx}$ como fracción da la respuesta correcta?

Question

Resuelve: $$\int x(2-3x)^{11} \, dx $$

El libro que estoy siguiendo utiliza una técnica extraña para resolver esto. Tengo problemas para entender por qué funciona.

Déjalo: $$ u = 2-3x$$ $$ x = \frac{2-u}{3} $$ $$ \frac{du}{dx} = -3 $$

Técnica del libro: $$dx = - \frac{du}{3}$$

$$ \int \frac{2-u}{3} u^{11} - \frac{du}{3}$$ $$ -\frac{1}{9} \int 2u^{11} - u^{12} du$$

Mi problema con esto es que dy/dx no es una fracción sino el límite de una, por lo que los términos dy y dx por sí solos no tienen sentido y no pueden ser manipulados algebraicamente. Por esta razón, lo resolví con una técnica más formal:

$$ \frac{dy}{du} = (\frac{2-u}{3})(u^{11}) = \frac{2u^{11}}{3} - \frac{u^{12}}{3} $$

Dada, la regla de la cadena inversa (es decir, la sustitución en u)

$$ u = g(x), y = f(u) $$ $$ \int \frac{du}{dx} \frac{dy}{du} dx = \int \frac{dy}{du} du$$

Así que..:

$$ -\frac{1}{3} \int -3 x(2-3x)^{11} dx = \int \frac{dy}{dx} du $$ $$ -\frac{1}{9} \int 2u^{11} - u^{12} du $$

Mi pregunta es la siguiente:

La técnica utilizada por el libro es a lo sumo una aproximación, es decir, suponiendo que $dy/dx$ es la fracción estamos tomando una suposición que no siempre se cumple, pero en este caso parece que sí. ¿Es esta la forma correcta de ver por qué funciona la "técnica del libro"?

Answer 1

Así que la pregunta es por qué tenemos $$\int f(x) dx = \int f(x(u))\frac{dx}{du}du$$ donde $x(u)$ es una función invertible?

Dejemos que $$F(x)=\int f(x)dx$$ y $$G(u)=\int f(x(u))\frac{dx}{du}du$$

Por definición de integral indefinida (antiderivada), regla de la cadena y teorema de la función inversa, tenemos

$$\frac{d}{dx}G(u(x))=\frac{dG}{du}\frac{du}{dx}=f(x(u))\frac{dx}{du}\frac{du}{dx}=f(x)$$

Por lo tanto, $$G(u(x))=\int f(x)dx =F(x)$$

En otras palabras, tenemos $$\int f(x) dx = \int f(x(u))\frac{dx}{du}du$$ y simbólicamente es como si el $du$ cancela.

De lo anterior se desprende que el origen de la "cancelación" proviene de $$\frac{du}{dx}\frac{dx}{du}=1$$ Pero esto no se debe a la "cancelación" sino que es por el teorema de la función inversa.

Answer 2

La técnica utilizada por el libro es correcta y puede justificarse. Así se hace, por ejemplo, en el libro de Spivak Cálculo en el capítulo Integración en términos elementales .