¿Cómo puede un hamiltoniano determina el espacio de Hilbert?

Question

A veces, cuando se habla de la teoría cuántica de campos, la gente habla como si el Hamiltoniano determina lo que el espacio de Hilbert es. Por ejemplo, en esta respuesta AccidentalFourierTransform dice

Imagina un $H_0$ que depende del espacio de fase variables $P$,$X$. [...] Si se agrega la perturbación $\vec{L} \cdot \vec{S}$, $\vec{S}$ el spin de la partícula, a continuación, cambiar el espacio de Hilbert, porque el nuevo espacio tiene tres del espacio de fase variables $P,X,S$, y usted no puede abarcar la última con base a lo anterior.

Este tipo de lenguaje también aparece en la introducción de la libre escalar campo-un montón de apuntes y libros de texto hablan de "construir" o "construir" el espacio de Hilbert, o 'encontrar' el 'espacio de Hilbert de la Hamiltoniana'.

Este tipo de razonamiento se parece exactamente al revés para mí. ¿Cómo se puede definir un Hamiltoniano, es decir, un operador en un espacio de Hilbert, si no sabemos el espacio de Hilbert de antemano? Sin un espacio de Hilbert especificado, no es $H = p^2/2m + V(x)$ a sólo un sentido cadena de letras con ninguna definición matemática? Me parece que este cambio de perspectiva tan desconcertante que me siento como que me perdí una conferencia en la que todos los demás se fueron.

Por ejemplo, cuando se trata con el oscilador armónico, es posible mostrar que el espacio de Hilbert debe contener copias de $\{|0 \rangle, |1 \rangle, \ldots \}$ utilizando sólo las relaciones de conmutación. Pero no hay manera de precisar cuántas copias hay a menos que utilice el hecho de que el espacio de Hilbert es en realidad $L^2(\mathbb{R})$, lo que muestra que $a |0 \rangle = 0$ determina un único estado. Igualmente me imagino que para cuántica de campos, se debería empezar con un espacio de Hilbert, donde los estados individuales son clásicos configuraciones del campo, pero nunca he visto a este hecho en la práctica, no parece haber ninguna entrada, pero el Hamiltoniano sí mismo. Cómo podría posiblemente ser suficiente?

Answer 1

El punto es que a veces uno empieza de una forma más o menos explícita formalismo algebraico donde sólo manipulaciones algebraicas de álgebra elementos son utilizados inicialmente. Aquí no hay operadores los operadores en un preciso espacio de Hilbert, pero sólo los elementos de un unital $^*$-álgebra y sólo composiciones (multiplicación con escalares, suma y álgebra de producto) y la involución de la operación (formal adjunto). El próximo uno ve si esta álgebra, con más condiciones técnicas (algunas operador debe ser auto-adjunto, algunos representación debe ser irreductible) o requisitos físicos (un adecuado estado existe) únicamente determinan un espacio de Hilbert donde esta álgebra es fielmente representada en términos de los operadores adecuados dominios.

Por ejemplo, el álgebra de $a,a^*$ determina completamente el estándar de oscilador armónico representación en $L^2(\mathbb R, dx)$ si suponiendo que $a^*a$ es esencialmente auto-adjunto en un denso común invariante de dominio y el surgimiento de la representación es irreductible.

En QFT tan pronto como se dispone de una versión algebraica de los operadores de campo, un estado de construir el espacio de Hilbert de la representación a través de la GNS reconstrucción teorema, por ejemplo.

En algún momento algunas hipótesis que resultan ser incompatibles, como ocurre para el caso de Haag del teorema.

En resumen, el Hamiltoniano sí mismo, visto como un elemento de un unital $^*$-álgebra no es suficiente para determinar un espacio de Hilbert donde la teoría puede ser implementado en la forma estándar, todo el álgebra debe ser fijo y más información es generalmente necesario.