¿Por qué necesitamos (todo) el dominio ser simplemente conectado en Cauchy ' s teorema, teorema del residuo, etcetera.?

Question

Pregunta Principal

Una forma muy común de Cauchy de la integral es el teorema de

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Deje $A\subset\mathbf{C}$ ser simplemente conectado y abierto, $f:A\rightarrow\mathbf{C}$ analítica, $I$ un intervalo compacto, y $\gamma:I\rightarrow A$ continuo (o lo que sea) con $\gamma(I)\subset A$. A continuación,$\int_\gamma f(z)dz=0$.

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Creo que sería también suficiente (y no hacer la prueba más difícil) a asumir que $\gamma$ es homotópica en $A$ a un punto sin necesidad de que $A$ es simplemente conectado. Estoy en lo cierto?

Si es así, ¿por qué nunca (o rara vez) declaró de esta manera? Lo mismo se aplica para el teorema de los residuos y de otros relacionados con los teoremas de análisis complejo.

Relacionados con la

Me gustaría ser menos sorprenda si la siguiente declaración fue completamente obvio:

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Deje $A\subset\mathbf{C}$ abierto, $I$ un intervalo compacto, y $\gamma:I\rightarrow A$ un camino continuo homotópica en $A$ a un punto. Entonces existe $U\subset A$ abierto y simplemente se conecta con $\gamma(I)\subset U$.

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Sospecho que esto es cierto, y tengo una vaga idea de cómo demostrarlo. Pero no es de una sola línea y no recuerdo haber visto en ningún libro de texto. Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Que % abierto, $A\subset\mathbf{C}$% #% un intervalo compacto y $I$ un homotópicas de trayectoria continua en $\gamma:I\rightarrow A$ a un punto. Entonces existe $A$ abierto y simplemente conectado con $U\subset A$.

Vamos a intentar esta curva, donde $\gamma(I)\subset U$ es el complemento de $A$.

Sin duda $\{0\}$, $\int_\gamma\frac{dz}{z} = 0$ Dónde está ese contorno.

Answer 2

De hecho, yo diría que de Cauchy de la integral teorema de la forma apropiada es el hecho de las tres declaraciones siguientes son equivalentes para $\gamma$ un bucle en algún conjunto abierto $\Omega$:

1. El bucle de $\gamma$ es nullhomologous en $\Omega$, es decir, tiene un índice (o de liquidación número) cero alrededor de cada punto del complemento de $\Omega$,
2. La inducida por el mapa de $f\in \mathcal O(\Omega)\longmapsto \int_\gamma fdz\in \mathbb C$ es idéntica a cero,
3. Para cada una de las $f\in \mathcal O(\Omega)$, la fórmula de Cauchy tiene por $\gamma$: $$\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi = I(\gamma,z) f(z).$$

Dado que todos los nullhomotopic bucles son nullhomologous (por el homotópica la invariancia de la integral) de obtener su forma de Cauchy de la integral teorema. Un argumento en favor de la puesta del teorema de Cauchy en el formulario anterior es que puede ser reformulada de la siguiente forma: vamos a $H_1(\Omega)$ ser el espacio de las cadenas en $\Omega$ (formal sumas de bucles) modulo nullhomologous cadenas, y deje $H^1(\Omega)$ ser el espacio de holomorphic funciones del modulo de funciones que son derivados. Entonces no es una degenerada forma bilineal $$H_1(\Omega)\otimes H^1(\Omega)\to \mathbb C$$ que toma la clase de una cadena de $\Gamma$ $\Omega$ y la clase de una holomorphic función de $f$ $\Omega$ y se asigna a $\int_\Gamma fdz \in \mathbb C$. Esta es una versión del teorema de de Rham en este caso sencillo.

Answer 3

Sospecho que la razón por la que el teorema es generalmente declaró la manera en la que escribió: "simplemente se conecta de dominio", es bastante fácil de entender (o modo de pensar de los estudiantes), mientras que homotopy es más difícil, y no necesita ser introducido para cualquier otro propósito. Y ya que el libro se va a aplicar este teorema para cosas como un disco (más y más!) o un rectángulo (a veces) o la mitad superior del plano (bastante a menudo), es más fácil hacer una afirmación sobre un dominio que vamos a usar más y más de que sobre una determinada curva.

En particular, muchos de los "evaluar esta integral impropia en la recta real el uso de los residuos", en el que se dibuja cada vez más grande, semidisk, etc., utilizar el mismo dominio para infinidad de semi-círculo-plus-diámetro de caminos. Es conceptualmente mucho más sencillo de demostrar , una vez que todo el dominio es simplemente conectado de probar que cada uno de esos infinitamente muchos caminos es nulo homotópica. (Seguro, el null-homotopy es obvio, pero creo que se entiende mi punto)

Eso es sólo una conjetura --- es difícil saber por qué ualquiera elige una particular forma de presentar una idea --- pero sin duda coincide con lo que me gustaría hacer en un básico de análisis complejo de curso.

En cuanto a la segunda afirmación... no estoy tan seguro de que yo creo que es cierto. Estoy pensando en cosas como el complemento de la topologists de la curva sinusoidal, o el complemento de la cornuda de Alexander esfera ... sé que ninguna de ellas es realmente un contraejemplo, y el hecho de que el intervalo es compacto, es probable que la ayuda con la demanda original...pero no veo la prueba todavía.