Por ejemplo, la función valor absoluto es definida y continua en todo el real, pero su derivado se comporta como una función escalón con una discontinuidad de salto.
Para algunas funciones agradables, aunque, como por ejemplo $e^x$ o $\sin(x)$, los derivados del curso son no "peor" que la función original.
¿Puedo decir algo que es típico de la derivada? ¿Por lo general no es tan bonito como la función original?
Sí, eso es totalmente correcto. Y a la inversa, la integración hace que funciones mejor.
Una forma de medir qué tan "agradable" una función es, por la cantidad de derivados que tiene. Decimos que una función de $f\in C^k$ si $k$ veces continuamente diferenciable. El más veces diferenciable es, el mejor de una función. Es "más suave". Así que si una función es $k$ veces diferenciable, entonces su derivada es $k-1$ veces diferenciable. Una función es "tan bonito" como su derivado, si y sólo si su suave (infinitamente diferenciable). Estas son las funciones como $\sin(x), e^x$, polinomios, etc.
Inversamente, la integración hace las cosas mejor. Por ejemplo, la integración de aunque no sea continuo de resultados en función de una función continua: Es una integral siempre continua?
El concepto que estamos hablando se llama suavidad (Wikipedia, MathWorld).
Funciones como $e^x$ $\sin(x)$ y polinomios se llama "suave" porque sus derivados, y $n$th derivados son todas continuas. Suave funciones de los derivados de todo el camino hacia abajo, por lo que es tan bueno como el de sus derivados.
Pero funciones como $\operatorname{abs}(x)$ $\operatorname{sgn}(x)$ no está liso, ya que hay discontinuidades en cualquiera de ellos o sus derivados. Son más bonitas que las de sus derivados.
Una función es en la clase $C^k$ si sus derivados, incluyendo, $k$ son continuas. Por lo que el número de niveles de niza-ness dependerá $k$. Piense acerca de cómo la integración de $\operatorname{sgn}(x)$ da $\operatorname{abs}(x)$, que a su vez da $\operatorname{sgn}(x)x^2$, y así sucesivamente. Como Zachary Selk puntos, usted puede hacer las funciones más agradable mediante la integración de ellos.
De hecho, para la mayoría de las funciones, su más probable es que puede ser integrado de manera separada. No sólo es ser "bonito", un rasgo poco común, siendo diferenciable en todo es demasiado.
Se puede ver como consecuencia de la convolución es al menos como bueno como las funciones involucradas. Porque una integral de una función $f$ es exactamente eso, una convolución:
$$\int_{-\infty}^t f(\tau)d\tau = \int_{-\infty}^\infty f(\tau) H(t-\tau)d\tau = (f*H)(t)$$
Donde $H(t)$ es la función paso de Heaviside:
$$H(t) = \cases{0 &, t < 0 \\ 0.5 &, t = 0 \\1 &, t > 0}$$
Como otros han señalado, derivado de los operadores en general disminuir la suavidad de una función. Esto es cierto para muchas clases de espacios de funciones: Sobolev, Besov, Triebel-Lizorkin, etc. De hecho, la mayoría de estos espacios tienen una suavidad parámetro que disminuye mediante la aplicación de operadores diferenciales. Terrence Tao tiene un bonito diagrama que ilustra la relación entre estos espacios en su blog.
Una cosa que no he visto mencionado en las otras respuestas es que los derivados pueden mejorar la decadencia de una función. Así que si usted comienza a partir de una función suave que crece, sus derivados podría ser considerado como el más bonito que el original.
Por lo que yo diría que la diferenciación crea un trade-off entre la suavidad y la decadencia. Esto se ve más claramente en el dominio de Fourier, donde la diferenciación es, básicamente, la multiplicación por un polinomio. Supongamos que la función original es $f$ y su transformada de Fourier es $\widehat{f}$. En el dominio de Fourier, un derivado de la $f$ está dado por $P(\omega)\widehat{f}(\omega)$ donde $P$ es de algún polinomio. Si $\widehat{f}$ tiene una singularidad, que pueden ser asesinados por los ceros del polinomio, por lo que los derivados de $f$ a tener una menor tasa de crecimiento. Al mismo tiempo, $P$ crece al infinito, lo que significa que la derivada de $f$ será menos suave.
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