Un semiring (de conjuntos) es una clase no vacía $\mathcal{P}$ de los subconjuntos de todo el espacio $X$ que es cerrado bajo intersecciones y es tal que la diferencia de dos conjuntos en $\mathcal{P}$ puede ser expresado como un número finito distinto de la unión de conjuntos en $\mathcal{P}$.
La motivación para esta pregunta: para cualquier clase de $\mathcal{E}$ de los subconjuntos de todo el espacio $X$, ¿existe un único más pequeño semiring que contengan $\mathcal{E}$? En otras palabras, ¿existe tal cosa como la semiring generado por $\mathcal{E}$? Creo que la respuesta es "no", pero realmente no tengo una buena razón.
La pregunta: Normalmente, para demostrar la existencia de los anillos (o campos, voy sólo se adhieren a los anillos por simplicidad) generado por un conjunto $\mathcal{E}$, en primer lugar demostrar que la intersección de una colección arbitraria de los anillos es de nuevo un anillo. Mi corazonada es que este resultado no se cumple para semirings, y es la razón por la que existen (posiblemente) no existe tal cosa como un semiring generado por $\mathcal{E}$.
Deje $\mathcal{P}_{\gamma}$ ser un semiring para cada $\gamma$ en algunas conjunto de índices $\Gamma$. Definir $\mathcal{P} = \cap \{\mathcal{P}_{\gamma}: \gamma \in \Gamma\}$. Entonces si $E, F \in \mathcal{P}$, $E,F \in \mathcal{P}_{\gamma}$ por cada $\gamma$. Entonces, por la definición de semiring para cada una de las $\gamma$ existe una colección de conjuntos disjuntos $\{E_{n_{\gamma}}\} \in \mathcal{P}_{\gamma}$ tal que $E-F = \cup E_{n_{\gamma}}$ (para cada una de las $\gamma$ esta secuencia puede ser diferente).
Pero por alguna razón, estoy teniendo problemas para ver por qué no puedo tomar esta desunido secuencia $\{E_{n_{\gamma}}\}$ a ser común a través de $\gamma$. Si puedo, luego de ello se desprende que una intersección de una colección arbitraria de semirings es un semiring, y luego se sigue que genera semirings existen. Pero me estoy convirtiendo convencido de que no existen. Puede alguien señalar dónde estoy disparo?
